Encontre a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas se
e a diferença de potencial entre os pontos
e
é 23 V , enquanto
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Laplace em coordenadas esféricas onde a função potencial depende só da distância $ r $. A gente precisa achar a solução para $ V® $ sabendo que a diferença de potencial entre $ r = 1,5 $ m e $ r = 3,2 $ m é de 23 V, e que em $ r = 2,1 $ m o potencial é 1320 V. Para isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais na física, especificamente a equação de Laplace para simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Laplace em coordenadas esféricas. Quando o potencial $ V $ depende só de $ r $, a equação simplifica para:
Isso porque, em coordenadas esféricas, a equação de Laplace geral é:
Mas como $ V $ só depende de $ r $, as outras derivadas desaparecem.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial que obtivemos:
Integrando ambos os lados em relação a $ r $:
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração. Agora, isolamos $ \frac{dV}{dr} $:
Integrando novamente:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Onde $ A = -C_1 $ e $ B = C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições dadas.
Passo 4
Vamos usar as condições fornecidas para achar $ A $ e $ B $.
- $ V(2,1 , m) = 1320 , V $:
- A diferença de potencial entre $ r = 1,5 $ m e $ r = 3,2 $ m é 23 V:
Simplificando essa segunda equação:
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para encontrar $ A $:
Calculando os valores dentro dos parênteses:
Então:
Calculando a diferença:
Portanto:
Agora, substituímos $ A $ na primeira equação para encontrar $ B $:
Calculando:
Então:
Resposta
A solução da equação de Laplace para $ V® $ é: