Encontre a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas se V= V(r) e a diferença de potencial entre os pontos r=1,5 m e r=3,2 m é 23 V , enquanto V=1320 V em r=2,1 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Laplace em coordenadas esféricas onde a função potencial depende só da distância $ r $. A gente precisa achar a solução para $ V® $ sabendo que a diferença de potencial entre $ r = 1,5 $ m e $ r = 3,2 $ m é de 23 V, e que em $ r = 2,1 $ m o potencial é 1320 V. Para isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais na física, especificamente a equação de Laplace para simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Laplace em coordenadas esféricas. Quando o potencial $ V $ depende só de $ r $, a equação simplifica para:
V
Isso porque, em coordenadas esféricas, a equação de Laplace geral é:
r
Mas como $ V $ só depende de $ r $, as outras derivadas desaparecem.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial que obtivemos:
ddr ( r^2 dVdr ) = 0
Integrando ambos os lados em relação a $ r $:
r
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração. Agora, isolamos $ \frac{dV}{dr} $:
r^2 dVdr = C1
Integrando novamente:
C1
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração. Podemos reescrever isso como:
dVdr
Onde $ A = -C_1 $ e $ B = C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições dadas.

Passo 4

Vamos usar as condições fornecidas para achar $ A $ e $ B $.
  1. $ V(2,1 , m) = 1320 , V $:
A
  1. A diferença de potencial entre $ r = 1,5 $ m e $ r = 3,2 $ m é 23 V:
B
Simplificando essa segunda equação:
V(2,1 , m) = 1320 , V

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para encontrar $ A $:
A
Calculando os valores dentro dos parênteses:
A ( 11,5 - 13,2 ) = 23
Então:
11,5 = 23, 13,2 = 1032 = 516
Calculando a diferença:
A ( 23 - 516 ) = 23
Portanto:
23 - 516 = 3248 - 1548 = 1748
Agora, substituímos $ A $ na primeira equação para encontrar $ B $:
A cdot 1748 = 23 Rightarrow A = 23 times 4817 = 110417 approx 65 , Vcdotm
Calculando:
A
Então:
B

Resposta

A solução da equação de Laplace para $ V® $ é:
V(r)

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