Considerando informações relacionadas ao Teorema de Stokes, analise os itens que seguem.
I. O Teorema de Green pode ser considerado como uma versão estendida do Teorema de Stokes.
II. O teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral em torno da curva da fronteira de S.
III. Para aplicarmos o teorema de Stokes a superfície S dever ser orientada, suave por partes e ter sua fronteira formada por uma curva fechada, simples, suave por partes, com orientação positiva, além disso as componentes do campo vetorial não devem ter derivadas parciais contínuas. Assinale a alternativa correta. Escolha uma:
I. O Teorema de Green pode ser considerado como uma versão estendida do Teorema de Stokes.
II. O teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral em torno da curva da fronteira de S.
III. Para aplicarmos o teorema de Stokes a superfície S dever ser orientada, suave por partes e ter sua fronteira formada por uma curva fechada, simples, suave por partes, com orientação positiva, além disso as componentes do campo vetorial não devem ter derivadas parciais contínuas. Assinale a alternativa correta. Escolha uma:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício que trata do Teorema de Stokes. Precisamos verificar a veracidade das afirmações I, II e III relacionadas a esse teorema. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de superfície e de linha, e entender as propriedades necessárias para aplicar o Teorema de Stokes corretamente.
Passo 2
Afirmação I: “O Teorema de Green pode ser considerado como uma versão estendida do Teorema de Stokes.”
O Teorema de Green é, na verdade, um caso especial do Teorema de Stokes. Enquanto o Teorema de Stokes generaliza o Teorema de Green para superfícies em espaços tridimensionais, o Teorema de Green é aplicável especificamente a regiões planas no plano XY. Portanto, a afirmação de que o Teorema de Green é uma versão estendida do Teorema de Stokes está incorreta. É o contrário: o Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green.
Passo 3
Afirmação II: “O teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral em torno da curva da fronteira de S.”
O Teorema de Stokes estabelece exatamente isso: ele relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície $ S $ com a integral de linha desse campo vetorial ao longo da fronteira $ \partial S $ da superfície. A fórmula matemática é dada por:
Portanto, a afirmação II está correta.
Passo 4
Afirmação III: “Para aplicarmos o teorema de Stokes a superfície S dever ser orientada, suave por partes e ter sua fronteira formada por uma curva fechada, simples, suave por partes, com orientação positiva, além disso as componentes do campo vetorial não devem ter derivadas parciais contínuas.”
Vamos analisar os requisitos para aplicar o Teorema de Stokes:
- Superfície $ S $ orientada e suave por partes: Correto. A superfície deve ter uma orientação bem definida e ser suficientemente suave para que as integrais sejam aplicáveis.
- Fronteira $ \partial S $ formada por uma curva fechada, simples, suave por partes, com orientação positiva: Correto. A curva deve ser fechada e ter uma orientação compatível com a orientação da superfície.
- Componentes do campo vetorial com derivadas parciais contínuas: Na verdade, para aplicar o Teorema de Stokes, é necessário que as componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais contínuas no domínio considerado. A afirmação diz o contrário, tornando-a incorreta.
Portanto, a afirmação III contém uma informação incorreta sobre as derivadas parciais das componentes do campo vetorial.
Resposta
Apenas a afirmação II está correta.