Analisando a declaração “Para qualquer inteiro positivo, 6n-1 é divisível por 5”, feita por um estudante de métodos de demonstração, assim escreveu: Para qualquer n ≥ 1, que a Pn seja a afirmação de que 6n - 1 é divisível por 5. Caso base. A declaração P1 diz que 61 - 1 = 6 - 1 = 5 é divisível por 5. Ao fixar k ≥ 1, e supor que Pk é satisfeita, ou seja, 6k - 1 é divisível por 5. Resta mostrar que o Pk+1 é satisfeita, ou seja, que 6k+1 - 1 é divisível por 5. 6k+1 - 1 = 6(6k) - 1 = 6(6k - 1) - 1 + 6 = 6(6k - 1) + 5. Assim Pk, o primeiro termo 6(6k - 1) é divisível por 5, o segundo termo é claramente divisível por 5. Portanto, o lado esquerdo também é divisível por 5. Portanto, Pk+1 é satisfeito. Assim a proposição para todos os n ≥ 1, a Pn é satisfeita. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. Ambas as asserções são proposições falsas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma afirmação que um estudante fez: “Para qualquer inteiro positivo,
é divisível por 5”. A matéria aqui é matemática, mais especificamente propriedades de divisibilidade e indução matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma expressão ser divisível por 5 e como usar a indução matemática para provar que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a declaração base, que é quando
. Substituindo na expressão:
Como 5 é divisível por 5, a base está correta.
Passo 3
Agora, vamos para a hipótese de indução. Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum inteiro
, ou seja:
Isso significa que
para algum inteiro
.
Passo 4
Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
. Vamos calcular
:
Usando a hipótese de indução:
Aqui,
é claramente divisível por 5, e 5 também é divisível por 5. Portanto, a soma
também é divisível por 5.
Passo 5
Como conseguimos provar que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
, pela indução matemática, a afirmação é válida para todo
.
Resposta
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.