Em um jogo de loteria, os jogadores devem escolher 5 números entre 1 e 40. Quantas combinações diferentes podem ser formadas?
A) 8.190
B) 658.008
C) 658.008.000
D) 658.008.016
E) 658.009
A) 8.190
B) 658.008
C) 658.008.000
D) 658.008.016
E) 658.009
Passo 1
Vamos resolver um problema de combinação! No enunciado, temos que em um jogo de loteria, os jogadores escolhem 5 números entre 1 e 40. Queremos descobrir quantas combinações diferentes podem ser formadas. Para isso, vamos usar conceitos de combinações, que fazem parte da probabilidade e estatística. Precisaremos entender como calcular combinações sem repetir elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação. Combinação é uma forma de selecionar itens onde a ordem não importa. No nosso caso, a ordem dos números escolhidos na loteria não importa, apenas quais números são escolhidos.
Passo 3
A fórmula para calcular combinações é:
onde:
- $ n $ é o total de itens disponíveis,
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
- “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 4
Neste problema, temos $ n = 40 $ (porque há números de 1 a 40) e $ k = 5 $ (porque escolhemos 5 números). Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão. Sabemos que:
Então, podemos cancelar o $ 35! $ no numerador e denominador:
Sabemos que $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $, então:
Passo 6
Vamos calcular o numerador:
Agora, dividimos pelo denominador:
Resposta
A quantidade de combinações diferentes que podem ser formadas é 658.008, portanto a opção correta é a B) 658.008.