Considerando o motor CC operando a vazio, faça o que se pede:
a) Elabore expressões literais que relacionem os parâmetros da máquina com o tempo de acomodação e o máximo sobressinal alcançados em função de uma aplicação de degrau. Faça comentários conclusivos sobre a influência de cada parâmetro;
b) Determine a expressão da velocidade angular em função do tempo decorrente da aplicação de uma rampa e calcule o tempo de extinção do transitório de saída;
a) Elabore expressões literais que relacionem os parâmetros da máquina com o tempo de acomodação e o máximo sobressinal alcançados em função de uma aplicação de degrau. Faça comentários conclusivos sobre a influência de cada parâmetro;
b) Determine a expressão da velocidade angular em função do tempo decorrente da aplicação de uma rampa e calcule o tempo de extinção do transitório de saída;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre motor CC operando a vazio! A questão pede para a gente elaborar expressões que relacionem os parâmetros do motor com o tempo de acomodação e o máximo sobressinal após um degrau, além de determinar a velocidade angular em função do tempo para uma rampa e calcular o tempo de extinção do transitório. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de sistemas de segunda ordem, como tempo de acomodação, sobressinal máximo, e a resposta a diferentes entradas (degrau e rampa).
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a), onde precisamos relacionar os parâmetros do motor com o tempo de acomodação e o máximo sobressinal para uma aplicação de degrau. Pensando em controle de sistemas, um motor CC pode ser modelado como um sistema de segunda ordem, cujas características são definidas pelo coeficiente de amortecimento (
) e pela frequência natural (
).
Passo 3
O tempo de acomodação (
) é o tempo que o sistema leva para chegar e permanecer dentro de uma certa porcentagem do valor final após uma perturbação (neste caso, um degrau). A expressão clássica para o tempo de acomodação em um sistema de segunda ordem é:
Aqui,
representa o coeficiente de amortecimento e
a frequência natural do sistema.
Passo 4
O máximo sobressinal (
) indica o quanto o sistema excede o valor final antes de se estabilizar. A fórmula para
em um sistema de segunda ordem é:
Essa relação mostra que o sobressinal depende diretamente do coeficiente de amortecimento.
Passo 5
Agora, vamos conectar esses conceitos aos parâmetros do motor CC. Geralmente, os parâmetros que influenciam
e
são a resistência elétrica (
), a indutância (
), o momento de inércia (
) e o atrito viscoso (
) do motor. As expressões para
e
são dadas por:
Onde
é a constante do motor.
Passo 6
Com base nessas expressões, podemos ver que:
- Aumentar
(momento de inércia) diminui e , aumentando o tempo de acomodação e o sobressinal. - Aumentar
(atrito viscoso) aumenta , diminuindo o tempo de acomodação e o sobressinal. - Aumentar
(constante do motor) aumenta e , reduzindo o tempo de acomodação e o sobressinal. - Aumentar
ou impacta indiretamente e através da relação com a constante de tempo elétrica, mas para simplificação, focamos nos principais parâmetros , e .
Passo 7
Passando para a parte b), precisamos determinar a expressão da velocidade angular (
) em função do tempo quando aplicamos uma rampa de tensão e calcular o tempo de extinção do transitório.
Passo 8
Para uma entrada de rampa, a tensão aplicada varia linearmente com o tempo, digamos
, onde
é a inclinação da rampa. A resposta do sistema pode ser obtida resolvendo a equação diferencial do motor. Considerando o modelo de segunda ordem, a solução geral para a velocidade angular será:
Onde
é a velocidade angular de estado estacionário e
é a frequência amortecida.
Passo 9
O tempo de extinção do transitório (
) é o tempo necessário para que os efeitos do transiente desapareçam, e o sistema atinja seu estado estacionário de forma efetiva. Uma regra prática é considerar
como
vezes o tempo de acomodação:
Isso garante que a contribuição do transiente seja reduzida a aproximadamente 1% do valor final.
Resposta
A partir das relações derivadas:
a) As expressões literais para o tempo de acomodação e o máximo sobressinal são:
Onde:
A influência de cada parâmetro é:
- Aumentando
aumenta e . - Aumentando
diminui e . - Aumentando
diminui e .
b) A expressão da velocidade angular em função do tempo para uma rampa é:
E o tempo de extinção do transitório é aproximadamente: