Considerando que para um determinado sistema de controle de malha fechada de segunda ordem são exigidos tempos de acomodação inferiores 2,5 s e superiores a 0,5 s, além de um sobressinal inferior a 16 %, determine a região no plano-S na qual devem estar localizados os seus pólos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de controle de malha fechada de segunda ordem e precisa descobrir onde os polos desse sistema devem estar no plano-S. As exigências são:
  • Tempo de acomodação entre 0,5 s e 2,5 s.
  • Sobressinal inferior a 16%.
Vamos usar conceitos de tempo de acomodação e sobressinal para encontrar os parâmetros que determinam a localização dos polos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o tempo de acomodação (Ts). Para sistemas de segunda ordem, uma boa aproximação do tempo de acomodação é dada por:
Ts approx 4zeta omegan
Aqui, é o fator de amortecimento e é a frequência natural do sistema. Nosso objetivo é encontrar valores de e que satisfaçam .

Passo 3

Agora, vamos considerar o sobressinal (PO). A fórmula para o sobressinal em percentual é:
PO = e^(-zeta piraiz1 - zeta^2) times 100%
Queremos que . Vamos resolver essa inequação para encontrar o valor mínimo de .

Passo 4

Resolvendo e^(-zeta piraiz1 - zeta^2) < 0,16 :
-zeta piraiz1 - zeta^2 < ln(0,16)
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
zetaraiz1 - zeta^2 > -ln(0,16)pi
zetaraiz1 - zeta^2 > 0,73
Calculando zeta > 0,73raiz1 + 0,73^2 approx 0,63 , temos:
Resolvendo para :
Então, o fator de amortecimento deve ser maior que aproximadamente 0,63.

Passo 5

Agora, voltando à fórmula do tempo de acomodação:
0,5 <= 4zeta omegan <= 2,5
Vamos reescrever isso para 42,5 <= zeta omegan <= 40,5 :
1,6 <= zeta omegan <= 8
1,6 <= 0,63 omegan <= 8
Com 1,60,63 <= omegan <= 80,63 , podemos inserir esse valor para encontrar os limites de approx 2,54 <= omegan <= 12,7 , rad/s :

Passo 6

Com s = -zeta omegan pm omegan raizzeta^2 - 1 e , podemos determinar onde os polos devem estar no plano-S. Os polos de um sistema de segunda ordem são:
Isso significa que os polos estarão na região à esquerda do eixo imaginário, com parte real maior que .

Resposta

Os polos do sistema devem estar localizados no plano-S com fator de amortecimento e frequência natural . Geometricamente, isso corresponde a uma região à esquerda do eixo imaginário, onde os polos possuem coordenadas com e dentro dos valores determinados.

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