Considerando que para um determinado sistema de controle de malha fechada de segunda ordem são exigidos tempos de acomodação inferiores
e superiores a
, além de um sobressinal inferior a
, determine a região no plano-S na qual devem estar localizados os seus pólos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de controle de malha fechada de segunda ordem e precisa descobrir onde os polos desse sistema devem estar no plano-S. As exigências são:
- Tempo de acomodação entre 0,5 s e 2,5 s.
- Sobressinal inferior a 16%.
Vamos usar conceitos de tempo de acomodação e sobressinal para encontrar os parâmetros que determinam a localização dos polos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o tempo de acomodação (Ts). Para sistemas de segunda ordem, uma boa aproximação do tempo de acomodação é dada por:
Aqui,
é o fator de amortecimento e
é a frequência natural do sistema. Nosso objetivo é encontrar valores de
e
que satisfaçam
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o sobressinal (PO). A fórmula para o sobressinal em percentual é:
Queremos que
. Vamos resolver essa inequação para encontrar o valor mínimo de
.
Passo 4
Resolvendo
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando
, temos:
Resolvendo para
:
Então, o fator de amortecimento deve ser maior que aproximadamente 0,63.
Passo 5
Agora, voltando à fórmula do tempo de acomodação:
Vamos reescrever isso para
:
Com
, podemos inserir esse valor para encontrar os limites de
:
Passo 6
Com
e
, podemos determinar onde os polos devem estar no plano-S. Os polos de um sistema de segunda ordem são:
Isso significa que os polos estarão na região à esquerda do eixo imaginário, com parte real maior que
.
Resposta
Os polos do sistema devem estar localizados no plano-S com fator de amortecimento
e frequência natural
. Geometricamente, isso corresponde a uma região à esquerda do eixo imaginário, onde os polos possuem coordenadas
com
e
dentro dos valores determinados.