Considerando a função de transferência da planta GP(s) dada a seguir, elabore um controlador que confira ao sistema de controle de malha fechada sobressinal de 16 % e erro de estado permanente igual a zero.
GP(s)=1s-0.5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de transferência da planta . A tarefa é elaborar um controlador que faça com que o sistema de malha fechada tenha um sobre-sinal de 16% e erro de estado permanente igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas, como resposta ao degrau e ajustamento de parâmetros para alcançar as especificações desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa sobre-sinal de 16%. O sobre-sinal ( Mp = e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) times 100% ) é a porcentagem máxima que a resposta ultrapassa o valor final desejado. A relação entre o sobre-sinal e o fator de amortecimento ( 0.16 = e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) ) é dada por:
ln(0.16) = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Queremos . Então, vamos resolver para :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resolvendo numericamente, encontramos .

Passo 3

Agora, vamos relacionar o fator de amortecimento com os polos do sistema. Para um sistema subamortecido, os polos são complexos conjugados e podem ser escritos como:
s = -zeta omegan pm j omegan raiz1 - zeta^2
Onde é a frequência natural. Queremos que o sistema de malha fechada tenha esses polos para garantir o sobre-sinal desejado.

Passo 4

A planta Gc(s) = Kp + Kis tem um polo em . Para alcançar o erro de estado permanente igual a zero, precisamos que o controlador elimine o erro para um degrau de referência. Uma forma comum de fazer isso é usando um controlador proporcional-integral (PI):
Isso adiciona um polo no controlador que ajuda a eliminar o erro de estado permanente.

Passo 5

Vamos montar a função de transferência de malha fechada. Com o controlador GCL(s) = Gc(s) GP(s)1 + Gc(s) GP(s) e a planta GCL(s) = (Kp + Kis) 1s - 0.51 + (Kp + Kis) 1s - 0.5 , a função de transferência em malha fechada é:
Substituindo e :

Passo 6

Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por GCL(s) = (Kp s + Ki) 1s - 0.5s + (Kp s + Ki) 1s - 0.5 = Kp s + Kis(s - 0.5) + Kp s + Ki :
s^2 - 0.5s + Kp s + Ki = s^2 + (Kp - 0.5)s + Ki
Simplificando o denominador:
GCL(s) = Kp s + Kis^2 + (Kp - 0.5)s + Ki
Então, a função de transferência de malha fechada fica:

Passo 7

Queremos que o denominador da função de malha fechada tenha os polos com s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2 e s^2 + (Kp - 0.5)s + Ki = s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2 correspondente. A forma padrão do denominador é:
2zetaomegan = Kp - 0.5 omegan^2 = Ki
Comparando com nosso denominador:
Assim, temos:

Passo 8

Precisamos determinar Ki = omegan^2 = 4 2 times 0.537 times 2 = Kp - 0.5 2.148 = Kp - 0.5 Kp = 2.648 e . Além disso, considerando que queremos uma resposta rápida, podemos escolher uma frequência natural . Vamos supor rad/s (esse valor pode ser ajustado conforme necessário).
Então:

Resposta

O controlador que atende às especificações é:
Gc(s) = 2.648 + 4s

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