Considerando a função de transferência da planta
dada a seguir, elabore um controlador que confira ao sistema de controle de malha fechada sobressinal de
e erro de estado permanente igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de transferência da planta
. A tarefa é elaborar um controlador que faça com que o sistema de malha fechada tenha um sobre-sinal de 16% e erro de estado permanente igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas, como resposta ao degrau e ajustamento de parâmetros para alcançar as especificações desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa sobre-sinal de 16%. O sobre-sinal (
) é a porcentagem máxima que a resposta ultrapassa o valor final desejado. A relação entre o sobre-sinal e o fator de amortecimento (
) é dada por:
Queremos
. Então, vamos resolver para
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resolvendo numericamente, encontramos
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o fator de amortecimento com os polos do sistema. Para um sistema subamortecido, os polos são complexos conjugados e podem ser escritos como:
Onde
é a frequência natural. Queremos que o sistema de malha fechada tenha esses polos para garantir o sobre-sinal desejado.
Passo 4
A planta
tem um polo em
. Para alcançar o erro de estado permanente igual a zero, precisamos que o controlador elimine o erro para um degrau de referência. Uma forma comum de fazer isso é usando um controlador proporcional-integral (PI):
Isso adiciona um polo no controlador que ajuda a eliminar o erro de estado permanente.
Passo 5
Vamos montar a função de transferência de malha fechada. Com o controlador
e a planta
, a função de transferência em malha fechada é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por
:
Simplificando o denominador:
Então, a função de transferência de malha fechada fica:
Passo 7
Queremos que o denominador da função de malha fechada tenha os polos com
e
correspondente. A forma padrão do denominador é:
Comparando com nosso denominador:
Assim, temos:
Passo 8
Precisamos determinar
e
. Além disso, considerando que queremos uma resposta rápida, podemos escolher uma frequência natural
. Vamos supor
rad/s (esse valor pode ser ajustado conforme necessário).
Então:
Resposta
O controlador que atende às especificações é: