Considerando uma onda harmônica se propagando para a direita, cuja função é descrita por , mostre que a troca faz com que o perfil da onda se repita.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com uma onda harmônica que se propaga para a direita, descrita pela função . O objetivo é mostrar que, ao substituir por , o perfil da onda se repete. Para isso, vamos usar conceitos de periodicidade em ondas.

Passo 2

Vamos começar analisando a função da onda: . Aqui, é a amplitude, é o número de onda, é a velocidade da onda, e é a fase inicial. O termo indica como a onda se propaga no espaço ao longo do tempo.

Passo 3

O número de onda está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula . Isso significa que o comprimento de onda, que é a distância entre dois pontos consecutivos em fase na onda, é .

Passo 4

Queremos verificar o que acontece quando substituímos por na função da onda. Vamos fazer essa substituição:

Passo 5

Agora, distribuímos o dentro do cosseno:

Passo 6

Sabemos que a função cosseno tem a propriedade de ser periódica com período . Ou seja, . Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 7

Portanto, a função da onda após a substituição fica:

Resposta

Assim, demonstramos que ao substituir por na função da onda, o perfil se repete. Isso confirma que é o período espacial da onda harmônica.

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