Considerando uma onda harmônica se propagando para a direita, cuja função é descrita por
, mostre que a troca
faz com que o perfil da onda se repita.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com uma onda harmônica que se propaga para a direita, descrita pela função
. O objetivo é mostrar que, ao substituir
por
, o perfil da onda se repete. Para isso, vamos usar conceitos de periodicidade em ondas.
Passo 2
Vamos começar analisando a função da onda:
. Aqui,
é a amplitude,
é o número de onda,
é a velocidade da onda, e
é a fase inicial. O termo
indica como a onda se propaga no espaço ao longo do tempo.
Passo 3
O número de onda
está relacionado ao comprimento de onda
pela fórmula
. Isso significa que o comprimento de onda, que é a distância entre dois pontos consecutivos em fase na onda, é
.
Passo 4
Queremos verificar o que acontece quando substituímos
por
na função da onda. Vamos fazer essa substituição:
Passo 5
Agora, distribuímos o
dentro do cosseno:
Passo 6
Sabemos que a função cosseno tem a propriedade de ser periódica com período
. Ou seja,
. Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 7
Portanto, a função da onda após a substituição fica:
Resposta
Assim, demonstramos que ao substituir
por
na função da onda, o perfil se repete. Isso confirma que
é o período espacial da onda harmônica.