Usando a transformação de Galileu, mostre que a função de onda para uma onda progressiva se propagando para a esquerda é dada por y(x, t)=f(x^prime)=f(x+v t).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisa ser feito! O exercício pede para a gente usar a transformação de Galileu para mostrar que a função de onda de uma onda que está se movendo para a esquerda é dada por . Basicamente, vamos entender como a posição e o tempo mudam quando observamos a onda de um referencial em movimento. Para isso, vamos precisar saber o que é a transformação de Galileu e como aplicá-la a uma função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformação de Galileu. Ela é usada para relacionar as coordenadas de espaço e tempo em dois referenciais que estão se movendo um em relação ao outro com velocidade constante x' = x - v t . As equações são:
t' = t
Aqui, e são as coordenadas no referencial original, enquanto e são as coordenadas no referencial que se move com velocidade .

Passo 3

Agora, vamos pensar na função de onda. Uma onda que se propaga para a esquerda pode ser descrita por uma função y(x, t) = f(x') = f(x - (-v) t) = f(x + v t) que depende de e . Queremos ver como essa função se comporta no referencial que está se movendo.
Como a onda está se movendo para a esquerda com velocidade , no referencial em movimento, a posição efetiva da onda muda. Usando a transformação de Galileu, substituímos por :
Aqui, representa a forma da onda, e indica que a onda está se deslocando para a esquerda.

Passo 4

Vamos detalhar essa substituição. A transformação de Galileu nos diz que x = x' + v t . Mas queremos expressar y(x, t) = f(x') = f(x + v t) em termos de . Então, rearranjando:
Substituímos isso na função de onda:
Isso mostra que a função de onda depende de , indicando que a onda se move para a esquerda com velocidade .

Resposta

A função de onda para uma onda progressiva se propagando para a esquerda é dada por:
y(x, t) = f(x + v t)

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