Considerando todas as soluções complexas existentes, ache os valores de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar todos os valores de considerando todas as soluções complexas. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a fórmula de De Moivre. Vamos precisar saber como representar um número complexo na forma polar e como aplicar exponenciação nessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever em forma polar. No plano complexo, está localizado no ponto , o que corresponde a um ângulo de radianos (ou 180 graus) e um módulo de 1. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos calcular . Para facilitar, vamos aplicar a exponenciação na forma polar. A propriedade que usamos é:
No nosso caso, , e . Então:
Aqui, é inteiro e representa as diferentes soluções periódicas no plano complexo.

Passo 4

Como , podemos simplificar a expressão para:
Para encontrar todas as soluções distintas, consideramos valores de que geram ângulos diferentes dentro de um ciclo completo de . Normalmente, para uma raiz de índice , temos soluções distintas. Mas como o expoente é , vamos encontrar 4 soluções (pois o denominador é 4).

Passo 5

Vamos calcular para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os valores de considerando todas as soluções complexas são:

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