Considerando todas as soluções complexas existentes, ache os valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar todos os valores de
considerando todas as soluções complexas. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a fórmula de De Moivre. Vamos precisar saber como representar um número complexo na forma polar e como aplicar exponenciação nessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
em forma polar. No plano complexo,
está localizado no ponto
, o que corresponde a um ângulo de
radianos (ou 180 graus) e um módulo de 1. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos calcular
. Para facilitar, vamos aplicar a exponenciação na forma polar. A propriedade que usamos é:
No nosso caso,
,
e
. Então:
Aqui,
é inteiro e representa as diferentes soluções periódicas no plano complexo.
Passo 4
Como
, podemos simplificar a expressão para:
Para encontrar todas as soluções distintas, consideramos valores de
que geram ângulos diferentes dentro de um ciclo completo de
. Normalmente, para uma raiz de índice
, temos
soluções distintas. Mas como o expoente é
, vamos encontrar 4 soluções (pois o denominador é 4).
Passo 5
Vamos calcular para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os valores de
considerando todas as soluções complexas são:
Exercícios relacionados
Complete the sentences with a suitable verb in the past form
e) Deborah and her best friend a lot last month
e) Deborah and her best friend
Calcule:
Complete the sentences with a suitable verb in the past form
c) My boss to Spain to make a new deal
c) My boss
Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que
, para quaisquer
e
, mostre que