Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que
, para quaisquer
e
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que usa números complexos na forma polar e a expansão do binômio. A gente vai precisar entender como funciona a forma polar de números complexos e como aplicar o teorema do binômio para expandir expressões desse tipo. Nosso objetivo é mostrar que a fórmula para
pode ser escrita como uma combinação de potências de
e
com coeficientes binomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a forma polar de um número complexo. Um número complexo pode ser representado como
, onde
é o módulo e
é o argumento do número. Aqui, estamos interessados apenas na parte real dessa expressão, que é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a potência dessa representação. Se elevamos
à potência
, temos:
Estamos focando na parte real, então:
Passo 4
Mas também podemos expandir
usando o teorema do binômio. Aplicando isso, temos:
Passo 5
Vamos separar as partes real e imaginária dessa soma. A parte real ocorre quando o expoente de
é par, pois
. Então, a parte real é:
Passo 6
Comparando as duas expressões para
, temos:
Como estamos trabalhando com a unidade (ou seja,
), podemos simplificar para:
Passo 7
Agora, vamos reescrever essa soma de forma mais amigável, alternando os sinais e organizando os termos:
Resposta
Assim, mostramos que:
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