Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que , para quaisquer e , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que usa números complexos na forma polar e a expansão do binômio. A gente vai precisar entender como funciona a forma polar de números complexos e como aplicar o teorema do binômio para expandir expressões desse tipo. Nosso objetivo é mostrar que a fórmula para pode ser escrita como uma combinação de potências de e com coeficientes binomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a forma polar de um número complexo. Um número complexo pode ser representado como , onde é o módulo e é o argumento do número. Aqui, estamos interessados apenas na parte real dessa expressão, que é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a potência dessa representação. Se elevamos à potência , temos:
Estamos focando na parte real, então:

Passo 4

Mas também podemos expandir usando o teorema do binômio. Aplicando isso, temos:

Passo 5

Vamos separar as partes real e imaginária dessa soma. A parte real ocorre quando o expoente de é par, pois . Então, a parte real é:

Passo 6

Comparando as duas expressões para , temos:
Como estamos trabalhando com a unidade (ou seja, ), podemos simplificar para:

Passo 7

Agora, vamos reescrever essa soma de forma mais amigável, alternando os sinais e organizando os termos:

Resposta

Assim, mostramos que:

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