Utilizando a forma polar de um número complexo e considerando a expansão do binômio, isto é que (a+b)^n=sumk=0^nbinomnk a^k b^n-k, para quaisquer a e b in C, mostre que
cos n theta=cos ^n theta-binomn2 cos ^n-2 theta sin ^2 theta+ binomn4 cos ^n-4 theta sin ^4 theta-ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que usa números complexos na forma polar e a expansão do binômio. A gente vai precisar entender como funciona a forma polar de números complexos e como aplicar o teorema do binômio para expandir expressões desse tipo. Nosso objetivo é mostrar que a fórmula para cos n theta pode ser escrita como uma combinação de potências de cos theta e sin theta com coeficientes binomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a forma polar de um número complexo. Um número complexo pode ser representado como z = r (cos theta + i sin theta), onde r é o módulo e theta é o argumento do número. Aqui, estamos interessados apenas na parte real dessa expressão, que é cos theta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a potência dessa representação. Se elevamos z à potência n, temos:
z^n = [r (cos theta + i sin theta)]^n = r^n (cos ntheta + i sin ntheta)
Estamos focando na parte real, então:
Re(z^n) = r^n cos ntheta

Passo 4

Mas também podemos expandir z^n usando o teorema do binômio. Aplicando isso, temos:
z^n = [cos theta + i sin theta]^n = sumk=0^n binomnk (cos theta)^n-k (i sin theta)^k

Passo 5

Vamos separar as partes real e imaginária dessa soma. A parte real ocorre quando o expoente de i é par, pois i^2m = (-1)^m. Então, a parte real é:
Re(z^n) = summ=0^lfloor n/2 rfloor binomn2m (cos theta)^n-2m (i sin theta)^2m = summ=0^lfloor n/2 rfloor binomn2m (cos theta)^n-2m (-1)^m (sin theta)^2m

Passo 6

Comparando as duas expressões para Re(z^n), temos:
r^n cos ntheta = summ=0^lfloor n/2 rfloor binomn2m (cos theta)^n-2m (-1)^m (sin theta)^2m
Como estamos trabalhando com a unidade (ou seja, r = 1), podemos simplificar para:
cos ntheta = summ=0^lfloor n/2 rfloor binomn2m (cos theta)^n-2m (-1)^m (sin theta)^2m

Passo 7

Agora, vamos reescrever essa soma de forma mais amigável, alternando os sinais e organizando os termos:
cos ntheta = cos^n theta - binomn2 cos^n-2 theta sin^2 theta + binomn4 cos^n-4 theta sin^4 theta - ldots

Resposta

Assim, mostramos que:
cos n theta = cos^n theta - binomn2 cos^n-2 theta sin^2 theta + binomn4 cos^n-4 theta sin^4 theta - ldots

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