Considerando os vetores abaixo, determine o resultado das operações abaixo:
& D=3 imath+5 jmath & E=1 imath+1 jmath+1 k & F=-1 imath+2 jmath-3 k

Passo 1

Vamos resolver este exercício que envolve operações com vetores. A matéria aqui é Álgebra Vetorial, e para isso vamos precisar entender como somar, subtrair e multiplicar vetores usando suas componentes nas direções imath, jmath e k.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que temos:
& D=3 imath+5 jmath & E=1 imath+1 jmath+1 k & F=-1 imath+2 jmath-3 k

Passo 3

Agora, vamos realizar as operações pedidas. Vamos supor que as operações a serem feitas são:
a) D + E
b) E - F
c) D cdot F (produto escalar)
d) E times F (produto vetorial)

Passo 4

a) Soma de D + E:
Para somar dois vetores, somamos suas componentes correspondentes:
D + E = (3 imath + 5 jmath) + (1 imath + 1 jmath + 1 k) = (3+1)imath + (5+1)jmath + 1 k = 4 imath + 6 jmath + 1 k

Passo 5

b) Subtração de E - F:
Para subtrair dois vetores, subtraímos suas componentes correspondentes:
E - F = (1 imath + 1 jmath + 1 k) - (-1 imath + 2 jmath - 3 k) = (1 - (-1))imath + (1 - 2)jmath + (1 - (-3))k = 2 imath - 1 jmath + 4 k

Passo 6

c) Produto Escalar de D cdot F:
O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores:
D cdot F = (3)(-1) + (5)(2) + (0)(-3) = -3 + 10 + 0 = 7
Observação: Como D não tem componente k, consideramos essa componente como zero.

Passo 7

d) Produto Vetorial de E times F:
O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais e é calculado usando a matriz determinante:
E times F = imath & jmath & k 1 & 1 & 1 -1 & 2 & -3 = imath cdot (1 cdot (-3) - 1 cdot 2) - jmath cdot (1 cdot (-3) - 1 cdot (-1)) + k cdot (1 cdot 2 - 1 cdot (-1)) = imath cdot (-3 - 2) - jmath cdot (-3 + 1) + k cdot (2 + 1) = -5 imath + 2 jmath + 3 k

Resposta

As operações resultam em:
a) D + E = 4 imath + 6 jmath + 1 k
b) E - F = 2 imath - 1 jmath + 4 k
c) D cdot F = 7
d) E times F = -5 imath + 2 jmath + 3 k

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