Considerar a e.d.o.
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada sabendo que
é uma solução da equação homogênea. Use o método de redução de ordem para determinar uma segunda solução da forma
e prove que será dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (e.d.o.) do tipo linear. A equação que temos é:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
Sabemos que uma solução dessa equação é
. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução,
, da forma
. No fim, vamos comprovar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método de redução de ordem. Sabemos que se
é uma solução da equação homogênea, então a segunda solução pode ser escrita como:
Aqui,
é uma função que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
, e
na equação homogênea:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Distribuindo os termos:
Agora, agrupamos termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
Logo, a equação fica:
Podemos dividir por
(que nunca é zero):
Passo 6
Agora, temos uma equação para
:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
.
Substituindo na equação:
Passo 7
Essa é uma equação linear de primeira ordem para
. Podemos resolver usando o fator integrante. A equação geral é:
Onde
.
O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 8
Para integrar
, fazemos uma divisão:
Então,
Portanto, o fator integrante é:
Passo 9
Multiplicamos a equação para
pelo fator integrante:
Isso se torna:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração. Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Agora, integramos
para encontrar
:
Vamos resolver a integral:
Usando a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula
:
Então,
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar a constante
.
Passo 11
Voltando à expressão de
:
Portanto, a segunda solução é
.
Resposta
A solução geral da equação homogênea associada é:
Onde
e
são constantes arbitárias.
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Calcule
, onde
.
Resolva a seguinte equação diferencial:
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onde
e
. Calcule
e
.