Considerar a e.d.o.
(x+1) y'' - (x+2) y' + y = e^x (x+1)^2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada sabendo que y = e^x é uma solução da equação homogênea. Use o método de redução de ordem para determinar uma segunda solução da forma y2(x) = v(x) y1(x) e prove que será dada por y2(x) = -(x + 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (e.d.o.) do tipo linear. A equação que temos é:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
Sabemos que uma solução dessa equação é . Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução, , da forma . No fim, vamos comprovar que .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o método de redução de ordem. Sabemos que se é uma solução da equação homogênea, então a segunda solução pode ser escrita como:
Aqui, v(x) é uma função que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , , e na equação homogênea:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Distribuindo os termos:
Agora, agrupamos termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Para :
Para :
Para v:
Logo, a equação fica:
Podemos dividir por e^x (que nunca é zero):

Passo 6

Agora, temos uma equação para v:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por :
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então .
Substituindo na equação:

Passo 7

Essa é uma equação linear de primeira ordem para w. Podemos resolver usando o fator integrante. A equação geral é:
Onde .
O fator integrante mu(x) é dado por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 8

Para integrar , fazemos uma divisão:
Então,
Portanto, o fator integrante é:

Passo 9

Multiplicamos a equação para w pelo fator integrante:
Isso se torna:
Integrando ambos os lados:
Onde C é uma constante de integração. Então:
Lembrando que , temos:

Passo 10

Agora, integramos para encontrar v:
Vamos resolver a integral:
Usando a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula :
Então,
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar a constante D.

Passo 11

Voltando à expressão de :
Portanto, a segunda solução é .

Resposta

A solução geral da equação homogênea associada é:
Onde e são constantes arbitárias.

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