Calcule integralgamma x d x+(x^2+y+z) d y+x y z d z, onde
gamma(t)=(t, 2 t,)^prime, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralgamma x , dx + (x^2 + y + z) , dy + x y z , dz, onde a curva gamma(t) é dada por gamma(t) = (t, 2t, 0) para 0 <= t <= 1.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve o cálculo de integrais de linha de campos vetoriais.
O que precisamos para resolver:
  1. Expressar os componentes do vetor posição gamma(t).
  2. Calcular as derivadas de cada componente em relação a t.
  3. Substituir tudo na integral de linha e integrar em relação a t.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas da curva gamma(t):
gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t, 2t, 0)
Aqui:
  • x(t) = t
  • y(t) = 2t
  • z(t) = 0

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada componente em relação a t:
dxdt = 1, dydt = 2, dzdt = 0

Passo 4

Substituímos x(t), y(t), e z(t) na função vetorial dado na integral:
x = t, y = 2t, z = 0
Portanto, a integral fica:
integral0^1 [ t cdot dxdt + (t^2 + 2t + 0) cdot dydt + t cdot 2t cdot 0 cdot dzdt ] dt
Simplificando:
integral0^1 [ t cdot 1 + (t^2 + 2t) cdot 2 + 0 ] dt

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dentro da integral:
t cdot 1 = t (t^2 + 2t) cdot 2 = 2t^2 + 4t
Então:
integral0^1 ( t + 2t^2 + 4t ) dt = integral0^1 ( 2t^2 + 5t ) dt

Passo 6

Calculamos a integral:
integral0^1 2t^2 , dt = 2 cdot [ t^33 ]0^1 = 2 cdot ( 13 - 0 ) = 23 integral0^1 5t , dt = 5 cdot [ t^22 ]0^1 = 5 cdot ( 12 - 0 ) = 52
Somando os resultados:
23 + 52 = 46 + 156 = 196

Resposta

O valor da integral é dfrac196.

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