Considere Q(s)=s^2+2 alpha s+omegan^2=(s+alpha)^2+omegad^2, sendo, omegad=raizomegan^2-alpha^2 e s1,2=-alpha pm i omegad, então, com relação ao polinômio do denominador da transformada de Laplace inversa, alpha=1 e omegad=2. Reescrevendo (2), obtém-se:
2s^2+2 s+5=2(s+1)^2+(2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui envolve transformadas de Laplace, que é uma técnica matemática muito usada para resolver equações diferenciais. A gente tem uma função , e fomos dados os valores de e . Nosso objetivo é reescrever essa função de uma forma que facilite encontrar a transformada inversa de Laplace. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar fórmulas básicas das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de Q(s) = s^2 + 2(1)s + 5 = s^2 + 2s + 5 e na expressão original. Temos:
Agora, queremos reescrever esse polinômio de uma forma que se pareça com a forma padrão que conhecemos das transformadas de Laplace. Isso facilita bastante na hora de aplicar as fórmulas.

Passo 3

Para facilitar, vamos completar o quadrado no denominador de s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4 . A ideia de completar o quadrado é transformar uma expressão quadrática em uma expressão que envolve um quadrado perfeito mais uma constante. Aqui está como fazemos isso:
(s + 1)^2 = s^2 + 2s + 1
Isso porque:
(s + 1)^2 + 4 = s^2 + 2s + 5
Então, adicionando 4, temos:

Passo 4

Agora que completamos o quadrado, nossa expressão fica:
2s^2 + 2s + 5 = 2(s + 1)^2 + 2^2
Isso está ótimo porque já está na forma padrão para aplicar a transformada inversa de Laplace. A forma que usamos é:
L^-1 omega(s + a)^2 + omega^2 = omega e^-a t sin(omega t)
Onde:

Passo 5

Aplicando a fórmula de transformada inversa de Laplace que mencionamos, identificamos os valores de L^-1 2(s + 1)^2 + 2^2 = 2 e^-1 t sin(2 t) e na nossa expressão. Substituindo na fórmula, temos:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de 2 e^-t sin(2 t) é:

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