Considere
, sendo,
, então, com relação ao polinômio do denominador da transformada de Laplace inversa,
e
. Reescrevendo (2), obtém-se:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui envolve transformadas de Laplace, que é uma técnica matemática muito usada para resolver equações diferenciais. A gente tem uma função
, e fomos dados os valores de
e
. Nosso objetivo é reescrever essa função de uma forma que facilite encontrar a transformada inversa de Laplace. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar fórmulas básicas das transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores de
e
na expressão original. Temos:
Agora, queremos reescrever esse polinômio de uma forma que se pareça com a forma padrão que conhecemos das transformadas de Laplace. Isso facilita bastante na hora de aplicar as fórmulas.
Passo 3
Para facilitar, vamos completar o quadrado no denominador de
. A ideia de completar o quadrado é transformar uma expressão quadrática em uma expressão que envolve um quadrado perfeito mais uma constante. Aqui está como fazemos isso:
Isso porque:
Então, adicionando 4, temos:
Passo 4
Agora que completamos o quadrado, nossa expressão fica:
Isso está ótimo porque já está na forma padrão para aplicar a transformada inversa de Laplace. A forma que usamos é:
Onde:
Passo 5
Aplicando a fórmula de transformada inversa de Laplace que mencionamos, identificamos os valores de
e
na nossa expressão. Substituindo na fórmula, temos:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: