Considere as v.a.s abaixo com as seguintes funções de distribuição:
em que
e
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e
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em que
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Qual o primeiro quartil de cada v.a. acima?
Qual o primeiro quartil de cada v.a. acima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o primeiro quartil de três variáveis aleatórias diferentes, cada uma com sua própria função de distribuição. O conteúdo envolve estatística, especificamente funções de distribuição acumulada (CDF) e como usar elas para achar quartis. O que vamos precisar é entender que o primeiro quartil é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão, ou seja, vamos resolver $ F_X(q_1) = 0.25 $ para cada variável.
Passo 2
Vamos começar com a primeira variável aleatória, $ X_1 $. A função de distribuição acumulada (CDF) dela é:
Para encontrar o primeiro quartil $ q_{1, X_1} $, precisamos resolver $ F_{X_{1}}(q_{1, X_1}) = 0.25 $:
Isolando a fração:
Elevando ambos os lados à potência $ \frac{1}{\beta} $:
Finalmente, resolvendo para $ q_{1, X_1} $:
Passo 3
Agora vamos para a segunda variável aleatória, $ X_2 $, com a CDF:
Para achar o primeiro quartil $ q_{1, X_2} $, resolvemos $ F_{X_{2}}(q_{1, X_2}) = 0.25 $:
Isolando a exponencial:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando por -1:
Elevando ambos os lados à potência $ \frac{1}{\theta} $:
Passo 4
Por último, vamos com a terceira variável aleatória, $ X_3 $, cuja CDF é:
Para encontrar o primeiro quartil $ q_{1, X_3} $, resolvemos $ F_{X_{3}}(q_{1, X_3}) = 0.25 $:
Isolando a exponencial:
Aplicando o logaritmo natural:
Multiplicando por -1:
Multiplicando ambos os lados por $ 2 \sigma^{2} $:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Resposta
Os primeiros quartis são:
- $ q_{1, X_1} = \dfrac{\alpha}{0.75^{1/\beta}} $
- $ q_{1, X_2} = \lambda \cdot \left(-\ln(0.75)\right)^{1/\theta} $
- $ q_{1, X_3} = \sigma \sqrt{-2 \ln(0.75)} $