Considere as v.a.s abaixo com as seguintes funções de distribuição:
FX1(x)=1-(alphax)^beta cdot I(x)[alpha, infty]
em que alpha>0 e beta>0;
FX2(x)=1-e^-(x / lambda)^theta cdot I(x)[0, infty]
em que lambda>0 e theta>0;
FX3(x)=1-e^-x^2 /(2 sigma^2) cdot I(x)[0, infty]
em que sigma>0.
Qual o primeiro quartil de cada v.a. acima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o primeiro quartil de três variáveis aleatórias diferentes, cada uma com sua própria função de distribuição. O conteúdo envolve estatística, especificamente funções de distribuição acumulada (CDF) e como usar elas para achar quartis. O que vamos precisar é entender que o primeiro quartil é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão, ou seja, vamos resolver $ F_X(q_1) = 0.25 $ para cada variável.

Passo 2

Vamos começar com a primeira variável aleatória, $ X_1 $. A função de distribuição acumulada (CDF) dela é:
X1
Para encontrar o primeiro quartil $ q_{1, X_1} $, precisamos resolver $ F_{X_{1}}(q_{1, X_1}) = 0.25 $:
FX1(x) = 1 - (alphax)^beta cdot I(x)[alpha, infty]
Isolando a fração:
q1, X1
Elevando ambos os lados à potência $ \frac{1}{\beta} $:
FX1(q1, X1) = 0.25
Finalmente, resolvendo para $ q_{1, X_1} $:
1 - (alphaq1, X1)^beta = 0.25

Passo 3

Agora vamos para a segunda variável aleatória, $ X_2 $, com a CDF:
X2
Para achar o primeiro quartil $ q_{1, X_2} $, resolvemos $ F_{X_{2}}(q_{1, X_2}) = 0.25 $:
FX2(x) = 1 - e^-(x / lambda)^theta cdot I(x)[0, infty]
Isolando a exponencial:
q1, X2
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
FX2(q1, X2) = 0.25
Multiplicando por -1:
1 - e^-(q1, X2 / lambda)^theta = 0.25
Elevando ambos os lados à potência $ \frac{1}{\theta} $:
e^-(q1, X2 / lambda)^theta = 0.75

Passo 4

Por último, vamos com a terceira variável aleatória, $ X_3 $, cuja CDF é:
X3
Para encontrar o primeiro quartil $ q_{1, X_3} $, resolvemos $ F_{X_{3}}(q_{1, X_3}) = 0.25 $:
FX3(x) = 1 - e^-x^2 /(2 sigma^2) cdot I(x)[0, infty]
Isolando a exponencial:
q1, X3
Aplicando o logaritmo natural:
FX3(q1, X3) = 0.25
Multiplicando por -1:
1 - e^-q1, X3^2 /(2 sigma^2) = 0.25
Multiplicando ambos os lados por $ 2 \sigma^{2} $:
e^-q1, X3^2 /(2 sigma^2) = 0.75
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
-q1, X3^22 sigma^2 = ln(0.75)

Resposta

Os primeiros quartis são:
  • $ q_{1, X_1} = \dfrac{\alpha}{0.75^{1/\beta}} $
  • $ q_{1, X_2} = \lambda \cdot \left(-\ln(0.75)\right)^{1/\theta} $
  • $ q_{1, X_3} = \sigma \sqrt{-2 \ln(0.75)} $

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