Considere as v.a.s abaixo com as seguintes funções de distribuição:
em que
e
;
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e
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em que
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Qual a f.d.p. de cada v.a. acima?
Qual a f.d.p. de cada v.a. acima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções de distribuição acumulada (F.D.A.) para três variáveis aleatórias diferentes: $ X_1 $, $ X_2 $ e $ X_3 $. O que precisamos fazer aqui é encontrar a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) de cada uma dessas variáveis. Para isso, vamos usar o conceito básico de que a f.d.p. é a derivada da F.D.A. em relação a $ x $. Então, vamos calcular essas derivadas passo a passo.
Passo 2
Vamos começar com a primeira variável aleatória, $ X_1 $, cuja F.D.A. é dada por:
Aqui, $ \alpha > 0 $ e $ \beta > 0 $. A função indicadora $ \mathbb{I}(x)_{[\alpha, \infty]} $ significa que essa função vale zero para $ x < \alpha $ e um para $ x \geq \alpha $.
Para encontrar a f.d.p., vamos derivar $ F_{X_{1}}(x) $ em relação a $ x $:
Passo 3
Derivando $ F_{X_{1}}(x) $:
Como a derivada de 1 é zero e a derivada da função indicadora é zero quase em todo lugar (exceto em $ x = \alpha $, que não afeta a derivada), ficamos com:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda variável aleatória, $ X_2 $, com F.D.A.:
Aqui, $ \lambda > 0 $ e $ \theta > 0 $. A função indicadora indica que a função existe para $ x \geq 0 $.
Derivando $ F_{X_{2}}(x) $ em relação a $ x $:
Novamente, a derivada de 1 é zero, então:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos analisar a terceira variável aleatória, $ X_3 $, com F.D.A.:
Aqui, $ \sigma > 0 $. A função indicadora indica que a função existe para $ x \geq 0 $.
Derivando $ F_{X_{3}}(x) $ em relação a $ x $:
A derivada de 1 é zero, então:
Resposta
As funções de densidade de probabilidade são: