Considere as v.a.s abaixo com as seguintes funções de distribuição:
FX1(x)=1-(alphax)^beta cdot I(x)[alpha, infty]
em que alpha>0 e beta>0;
FX2(x)=1-e^-(x / lambda)^theta cdot I(x)[0, infty]
em que lambda>0 e theta>0;
FX3(x)=1-e^-x^2 /(2 sigma^2) cdot I(x)[0, infty]
em que sigma>0.
Qual a f.d.p. de cada v.a. acima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções de distribuição acumulada (F.D.A.) para três variáveis aleatórias diferentes: $ X_1 $, $ X_2 $ e $ X_3 $. O que precisamos fazer aqui é encontrar a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) de cada uma dessas variáveis. Para isso, vamos usar o conceito básico de que a f.d.p. é a derivada da F.D.A. em relação a $ x $. Então, vamos calcular essas derivadas passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira variável aleatória, $ X_1 $, cuja F.D.A. é dada por:
X1
Aqui, $ \alpha > 0 $ e $ \beta > 0 $. A função indicadora $ \mathbb{I}(x)_{[\alpha, \infty]} $ significa que essa função vale zero para $ x < \alpha $ e um para $ x \geq \alpha $.
Para encontrar a f.d.p., vamos derivar $ F_{X_{1}}(x) $ em relação a $ x $:
FX1(x) = 1 - (alphax)^beta cdot I(x)[alpha, infty]

Passo 3

Derivando $ F_{X_{1}}(x) $:
FX1(x)
Como a derivada de 1 é zero e a derivada da função indicadora é zero quase em todo lugar (exceto em $ x = \alpha $, que não afeta a derivada), ficamos com:
fX1(x) = ddx [1 - (alphax)^beta cdot I(x)[alpha, infty]]
Simplificando:
x = alpha

Passo 4

Agora, vamos para a segunda variável aleatória, $ X_2 $, com F.D.A.:
X2
Aqui, $ \lambda > 0 $ e $ \theta > 0 $. A função indicadora indica que a função existe para $ x \geq 0 $.
Derivando $ F_{X_{2}}(x) $ em relação a $ x $:
FX2(x) = 1 - e^-(x / lambda)^theta cdot I(x)[0, infty]
Novamente, a derivada de 1 é zero, então:
lambda > 0
Simplificando:
theta > 0

Passo 5

Por fim, vamos analisar a terceira variável aleatória, $ X_3 $, com F.D.A.:
X3
Aqui, $ \sigma > 0 $. A função indicadora indica que a função existe para $ x \geq 0 $.
Derivando $ F_{X_{3}}(x) $ em relação a $ x $:
FX3(x) = 1 - e^-x^2 / (2 sigma^2) cdot I(x)[0, infty]
A derivada de 1 é zero, então:
sigma > 0

Resposta

As funções de densidade de probabilidade são:
fX1(x) = beta alpha^beta x^-(beta + 1) cdot I(x)[alpha, infty]
fX2(x) = thetalambda (xlambda)^theta - 1 e^-(x / lambda)^theta cdot I(x)[0, infty]
fX3(x) = xsigma^2 e^-x^2 / (2 sigma^2) cdot I(x)[0, infty]

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