Uma variável aleatória (v.a.) contínua tem função de densidade de probabilidade (f.d.p.)
Qual a mediana dessa variável aleatória?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua com uma função de densidade de probabilidade dada por $ f_X(x) = e^{-x} $ para $ x $ de 0 até o infinito. O que a gente precisa descobrir é qual é a mediana dessa variável. Aqui, estamos trabalhando com probabilidades e funções de distribuição, então vamos usar alguns conceitos básicos de estatística para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, bora entender o que é a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição de probabilidade ao meio, ou seja, metade das observações estão abaixo desse valor e a outra metade está acima. Matemáticamente, queremos encontrar um número $ m $ tal que $ P(X \leq m) = 0,5 $. Isso significa que a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ m $ é 50%.
Passo 3
Para encontrar a mediana, precisamos da função de distribuição acumulada (CDF) da variável aleatória $ X $. A CDF, denotada por $ F_X(x) $, nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $. Ela é obtida integrando a função de densidade de probabilidade $ f_X(x) $ de menos infinito até $ x $.
Passo 4
Vamos calcular a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ para a nossa função de densidade $ f_X(x) = e^{-x} $:
Integrando, temos:
Então, $ F_X(x) = 1 - e^{-x} $.
Passo 5
Agora, queremos encontrar a mediana $ m $ tal que $ F_X(m) = 0,5 $:
Vamos resolver essa equação para $ m $:
Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Sabendo que $ \ln(0,5) = -\ln(2) $, temos:
Resposta
A mediana dessa variável aleatória é $ \ln(2) $, aproximadamente 0,693.