Uma variável aleatória (v.a.) contínua tem função de densidade de probabilidade (f.d.p.)
fX(x)=e^-x cdot I(x)[0, infty]
Qual a mediana dessa variável aleatória?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua com uma função de densidade de probabilidade dada por $ f_X(x) = e^{-x} $ para $ x $ de 0 até o infinito. O que a gente precisa descobrir é qual é a mediana dessa variável. Aqui, estamos trabalhando com probabilidades e funções de distribuição, então vamos usar alguns conceitos básicos de estatística para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, bora entender o que é a mediana. A mediana é o valor que divide a distribuição de probabilidade ao meio, ou seja, metade das observações estão abaixo desse valor e a outra metade está acima. Matemáticamente, queremos encontrar um número $ m $ tal que $ P(X \leq m) = 0,5 $. Isso significa que a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ m $ é 50%.

Passo 3

Para encontrar a mediana, precisamos da função de distribuição acumulada (CDF) da variável aleatória $ X $. A CDF, denotada por $ F_X(x) $, nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $. Ela é obtida integrando a função de densidade de probabilidade $ f_X(x) $ de menos infinito até $ x $.

Passo 4

Vamos calcular a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ para a nossa função de densidade $ f_X(x) = e^{-x} $:
FX(x)
Integrando, temos:
fX(x) = e^-x
Então, $ F_X(x) = 1 - e^{-x} $.

Passo 5

Agora, queremos encontrar a mediana $ m $ tal que $ F_X(m) = 0,5 $:
m
Vamos resolver essa equação para $ m $:
FX(m) = 0,5
Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
1 - e^-m = 0,5
Sabendo que $ \ln(0,5) = -\ln(2) $, temos:
m

Resposta

A mediana dessa variável aleatória é $ \ln(2) $, aproximadamente 0,693.

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