Uma variável aleatória (v.a.) contínua tem função de densidade de probabilidade (f.d.p.)
Qual a probabilidade de
?
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de Probabilidade, onde temos uma variável aleatória contínua com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por $ f_{X}(x) = e^{-x} $ para $ x $ de 0 até infinito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a chance de que $ X $ esteja entre 3 e 5, ou seja, $ P(3 < X \leq 5) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de $ X $ estar entre dois valores é calculada pela integral da função de densidade entre esses valores. Então, $ P(a < X \leq b) = \int_{a}^{b} f_X(x) , dx $. Aqui, a gente quer $ a = 3 $ e $ b = 5 $.
Passo 3
Vamos substituir a função de densidade na integral. Ficaria assim:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o valor da probabilidade.
Passo 4
A integral de $ e^{-x} $ em relação a $ x $ é $ -e^{-x} $. Então, aplicamos os limites de integração:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores numéricos usando uma calculadora:
Então:
Resposta
A probabilidade de $ 3 < X \leq 5 $ é aproximadamente $ 0,0431 $ ou 4,31%.