Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem uma transformação linear representada por uma matriz em . A missão aqui é encontrar o polinômio característico de e listar todos os possíveis polinômios mínimos de . Para isso, vamos precisar entender como calcular o polinômio característico e quais são as condições para um polinômio ser mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o polinômio característico. Ele é fundamental porque nos dá informações sobre os autovalores da matriz (ou transformação linear). Para encontrar esse polinômio, usamos a seguinte fórmula:
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita bastante as coisas! Numa matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso significa que os autovalores são os números na diagonal.
Passo 4
Vamos identificar os autovalores:
Na primeira linha, temos
Na segunda linha, ainda
Na terceira linha,
Na quarta linha, também
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 2).
Passo 5
Agora, montamos o polinômio característico usando os autovalores:
pT(lambda) = ( lambda - 2 )^2 ( lambda - 3 )^2
Isso porque cada autovalor aparece duas vezes na diagonal.
Passo 6
Vamos falar sobre o polinômio mínimo. Ele é o polinômio de menor grau que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz nula. Além disso, ele deve dividir o polinômio característico.
Dado que os autovalores são e , e cada um tem multiplicidade 2, os potenciais candidatos para o polinômio mínimo são:
Esses são todos os polinômios que dividem o característico e têm os fatores necessários.