Considere alpha a base canônica de R^4 e T: R^4 R^4 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[cccc 2 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 3 ]
Encontre: O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem uma transformação linear representada por uma matriz em . A missão aqui é encontrar o polinômio característico de e listar todos os possíveis polinômios mínimos de . Para isso, vamos precisar entender como calcular o polinômio característico e quais são as condições para um polinômio ser mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o polinômio característico. Ele é fundamental porque nos dá informações sobre os autovalores da matriz (ou transformação linear). Para encontrar esse polinômio, usamos a seguinte fórmula:
pT(lambda) = det([T] - lambda I)
Onde é a matriz de e é a matriz identidade.

Passo 3

Olha só a matriz dada:
[T]alpha^alpha=[cccc 2 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 3 ]
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita bastante as coisas! Numa matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso significa que os autovalores são os números na diagonal.

Passo 4

Vamos identificar os autovalores:
  • Na primeira linha, temos
  • Na segunda linha, ainda
  • Na terceira linha,
  • Na quarta linha, também
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 2).

Passo 5

Agora, montamos o polinômio característico usando os autovalores:
pT(lambda) = ( lambda - 2 )^2 ( lambda - 3 )^2
Isso porque cada autovalor aparece duas vezes na diagonal.

Passo 6

Vamos falar sobre o polinômio mínimo. Ele é o polinômio de menor grau que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz nula. Além disso, ele deve dividir o polinômio característico.
Dado que os autovalores são e , e cada um tem multiplicidade 2, os potenciais candidatos para o polinômio mínimo são:
Esses são todos os polinômios que dividem o característico e têm os fatores necessários.

Resposta

Polinômio característico de pT(lambda) = ( lambda - 2 )^2 ( lambda - 3 )^2 :
mT(lambda) in , ( lambda - 2 )( lambda - 3 ),; ( lambda - 2 )^2 ( lambda - 3 ),; ( lambda - 2 )( lambda - 3 )^2,; ( lambda - 2 )^2 ( lambda - 3 )^2 ,
Candidatos ao polinômio mínimo de :

Exercícios relacionados

Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-y+z, 7 x-5 y+z, 6 x-6 y+2 z)
© Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.
Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por
T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de T.
Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-2 y+2 z, 4 x-4 y+6 z, 2 x-3 y+5 z)
(b) T é diagonalizável? Justifique.
Considere alpha a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[ccc 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 ]
Encontre os autovalores e autovetores correspondentes de T.