Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre os autovalores e autovetores correspondentes de T.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear representado por uma matriz. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o tema de autovalores e autovetores. Para resolver isso, precisamos calcular os autovalores resolvendo o determinante e, em seguida, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 que representa o operador :
Aqui, é uma matriz que transforma vetores de para .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores det(A - lambda I) = 0 de . Para isso, usamos a equação característica:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
lambda^3 - 3lambda^2 - lambda + 3 = 0
Passo 7
Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de 1 - 3 - 1 + 3 = 0 . Tentamos possíveis raízes racionais que são divisores de 3 (o termo constante), ou seja, .