Considere alpha a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[ccc 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 ]
Encontre os autovalores e autovetores correspondentes de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear representado por uma matriz. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o tema de autovalores e autovetores. Para resolver isso, precisamos calcular os autovalores resolvendo o determinante e, em seguida, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 que representa o operador :
Aqui, é uma matriz que transforma vetores de para .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores det(A - lambda I) = 0 de . Para isso, usamos a equação característica:
Onde é a matriz identidade .

Passo 4

Calculamos A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2 - lambda :

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot ((- lambda)(2 - lambda) - (1)(1)) - 0 cdot ((-1)(2 - lambda) - (1)(1)) + 2 cdot ((-1)(1) - (-lambda)(1))
Simplificando:
= (1 - lambda) cdot (lambda^2 - 2lambda - 1) + 2 cdot (lambda - 1)

Passo 6

Expandindo e simplificando a expressão:
= (1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 1) + 2lambda - 2
= lambda^2 - 2lambda - 1 - lambda^3 + 2lambda^2 + lambda + 2lambda - 2
= -lambda^3 + 3lambda^2 + lambda - 3
Então, temos a equação característica:
-lambda^3 + 3lambda^2 + lambda - 3 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
lambda^3 - 3lambda^2 - lambda + 3 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de 1 - 3 - 1 + 3 = 0 . Tentamos possíveis raízes racionais que são divisores de 3 (o termo constante), ou seja, .
Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 8

Agora, fazemos a divisão polinomial para fatorar lambda^3 - 3lambda^2 - lambda + 3 = (lambda - 1)(lambda^2 - 2lambda - 3) :
lambda = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Agora, resolvemos :
Usando a fórmula quadrática:
Então, e .

Passo 9

Agora, temos os autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = -1

Passo 10

Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - I = 0 & 0 & 2 -1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 , resolvemos 1 1 0 .
Para A - 3I = -2 & 0 & 2 -1 & -3 & 1 1 & 1 & -1 :
1 1 1
Resolvendo o sistema, encontramos que os autovetores são múltiplos de A + I = 2 & 0 & 2 -1 & 1 & 1 1 & 1 & 3 .
Para -1 1 0 :
Resolvendo o sistema, os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .

Resposta

Os autovalores de 1 1 0 são 1 1 1 , -1 1 0 e . Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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