(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para cada autoespaço associado a um autovalor de . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente lidando com autovalores e autoespaços de operadores lineares. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, em seguida, determinar os vetores que formam os autoespaços correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores escalares que satisfazem a equação
para algum vetor não nulo . Para encontrar esses , vamos resolver o determinante da matriz igual a zero, onde é a matriz identidade.
A matriz de é
Então, fica
Agora, calculamos o determinante:
Vamos expandir isso:
Então,
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática . Para isso, podemos fatorar:
Portanto, os autovalores são e .
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar o autoespaço para cada um deles. O autoespaço associado a um autovalor é o conjunto de todos os vetores tais que
Vamos fazer isso para cada .
Passo 4
Para :
Substituímos na matriz :
Queremos resolver , ou seja:
Essas duas equações são iguais, então temos uma única equação:
Podemos escolher , onde é um parâmetro real. Então:
Isso significa que o autoespaço para é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para esse autoespaço é .
Passo 5
Para :
Substituímos na matriz :
Queremos resolver , ou seja:
A segunda equação nos dá . Substituindo na primeira:
Então, qualquer vetor onde satisfaz as equações. Podemos escolher , onde é um parâmetro real. Então:
Isso significa que o autoespaço para é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para esse autoespaço é .
Resposta
Uma base para cada autoespaço associado aos autovalores de é: