Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por
T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear T(x, y) = (2x + 2y, x + 3y) definido por
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para cada autoespaço associado a um autovalor de . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente lidando com autovalores e autoespaços de operadores lineares. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, em seguida, determinar os vetores que formam os autoespaços correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de T(v) = lambda v . Autovalores são valores escalares A = 2 & 2 1 & 3 que satisfazem a equação
A - lambda I = 2 - lambda & 2 1 & 3 - lambda
para algum vetor não nulo det(A - lambda I) = (2 - lambda)(3 - lambda) - (2)(1) = (2 - lambda)(3 - lambda) - 2 . Para encontrar esses (2 - lambda)(3 - lambda) = 6 - 5lambda + lambda^2 , vamos resolver o determinante da matriz det(A - lambda I) = 6 - 5lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4 igual a zero, onde lambda^2 - 5lambda + 4 = 0 é a matriz identidade.
A matriz de é
Então, fica
Agora, calculamos o determinante:
Vamos expandir isso:
Então,
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - 5lambda + 4 = (lambda - 1)(lambda - 4) = 0 . Para isso, podemos fatorar:
(T - lambda I)v = 0
Portanto, os autovalores são e .
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar o autoespaço para cada um deles. O autoespaço associado a um autovalor é o conjunto de todos os vetores tais que
Vamos fazer isso para cada .

Passo 4

Para A - I = 2 - 1 & 2 1 & 3 - 1 = 1 & 2 1 & 2 :
Substituímos 1x + 2y = 0 1x + 2y = 0 na matriz x + 2y = 0 implies x = -2y :
v = -2t t = t -2 1
Queremos resolver -2 1 , ou seja:
-2 1
Essas duas equações são iguais, então temos uma única equação:
Podemos escolher , onde é um parâmetro real. Então:
Isso significa que o autoespaço para é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para esse autoespaço é .

Passo 5

Para A - 4I = 2 - 4 & 2 1 & 3 - 4 = -2 & 2 1 & -1 :
Substituímos -2x + 2y = 0 x - y = 0 na matriz -2y + 2y = 0 implies 0 = 0 :
v = t t = t 1 1
Queremos resolver 1 1 , ou seja:
1 1
A segunda equação nos dá . Substituindo na primeira:
Então, qualquer vetor onde satisfaz as equações. Podemos escolher , onde é um parâmetro real. Então:
Isso significa que o autoespaço para é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para esse autoespaço é .

Resposta

Uma base para cada autoespaço associado aos autovalores de -2 1 é:
  • Para 1 1 :
  • Para :

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