Considere um átomo de Hidrogênio ( Z=1 ) de massa reduzida mu, o elétron deste átomo encontra-se no estado com a função de onda radial R21(r)=A r e^-r / 2 a0, com n=2 e l=1. 0 potencial de interação entre o núcleo e o elétron é dado por V(r)=-hbar^2mu a0 1r.
Calcule a variância radial dada por sigmar ^2=lang<= r^2rang<=-

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A gente tem um átomo de Hidrogênio, que é aquele átomo mais simples com só um próton e um elétron. A função de onda radial do elétron está dada por $ R_{21}® = A r e^{-r / (2 a_{0})} $, onde $ n = 2 $ e $ l = 1 $. Nosso objetivo é calcular a variância radial $ \sigma_r^2 = \langle r^2 \rangle - \langle r \rangle^2 $. Para isso, vamos precisar entender como calcular os valores médios $ \langle r \rangle $ e $ \langle r^2 \rangle $ usando a função de onda.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda radial multiplicada por $ r^2 $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
r^2
Vamos calcular essa integral para encontrar a constante de normalização $ A $.

Passo 3

Substituindo $ R_{21}® $ na integral de normalização:
R21(r)
Agora, usamos a fórmula de integração de $ \int_{0}^{\infty} r^n e^{-r / a_{0}} dr = n! , a_{0}^{n+1} $. Para $ n = 4 $:
integral0^infty A^2 r^2 e^-r / a0 r^2 dr = A^2 integral0^infty r^4 e^-r / a0 dr = 1
Portanto, a constante de normalização é:
integral0^infty r^n e^-r / a0 dr = n! , a0^n+1

Passo 4

Agora que temos $ A $, podemos calcular $ \langle r \rangle $ e $ \langle r^2 \rangle $. A expectativa $ \langle r \rangle $ é dada por:
A
Substituindo $ R_{21}® $:
lang<= r rang<=
Usando a fórmula de integração para $ n = 5 $:
lang<= r^2 rang<=

Passo 5

Da mesma forma, vamos calcular $ \langle r^2 \rangle $:
lang<= r^2 rang<=
Substituindo $ R_{21}® $:
lang<= r^2 rang<= = integral0^infty R21(r)^2 cdot r^2 cdot r^2 dr = integral0^infty R21(r)^2 r^4 dr
Usando a fórmula de integração para $ n = 6 $:
R21(r)

Passo 6

Agora que temos $ \langle r \rangle = 5 a_{0} $ e $ \langle r^2 \rangle = 30 a_{0}^2 $, podemos calcular a variância radial:
lang<= r rang<= = 5 a0

Resposta

A variância radial é $ \sigma_r^2 = 5 a_{0}^2 $.

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