Considere um átomo de Hidrogênio (
) de massa reduzida
, o elétron deste átomo encontra-se no estado com a função de onda radial
, com
e
. 0 potencial de interação entre o núcleo e o elétron é dado por
.
Calcule a variância radial dada por
Calcule a variância radial dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A gente tem um átomo de Hidrogênio, que é aquele átomo mais simples com só um próton e um elétron. A função de onda radial do elétron está dada por $ R_{21}® = A r e^{-r / (2 a_{0})} $, onde $ n = 2 $ e $ l = 1 $. Nosso objetivo é calcular a variância radial $ \sigma_r^2 = \langle r^2 \rangle - \langle r \rangle^2 $. Para isso, vamos precisar entender como calcular os valores médios $ \langle r \rangle $ e $ \langle r^2 \rangle $ usando a função de onda.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda radial multiplicada por $ r^2 $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Vamos calcular essa integral para encontrar a constante de normalização $ A $.
Passo 3
Substituindo $ R_{21}® $ na integral de normalização:
Agora, usamos a fórmula de integração de $ \int_{0}^{\infty} r^n e^{-r / a_{0}} dr = n! , a_{0}^{n+1} $. Para $ n = 4 $:
Portanto, a constante de normalização é:
Passo 4
Agora que temos $ A $, podemos calcular $ \langle r \rangle $ e $ \langle r^2 \rangle $. A expectativa $ \langle r \rangle $ é dada por:
Substituindo $ R_{21}® $:
Usando a fórmula de integração para $ n = 5 $:
Passo 5
Da mesma forma, vamos calcular $ \langle r^2 \rangle $:
Substituindo $ R_{21}® $:
Usando a fórmula de integração para $ n = 6 $:
Passo 6
Agora que temos $ \langle r \rangle = 5 a_{0} $ e $ \langle r^2 \rangle = 30 a_{0}^2 $, podemos calcular a variância radial:
Resposta
A variância radial é $ \sigma_r^2 = 5 a_{0}^2 $.