Considere as autofunções da equação de Schrödinger para o elétron no átomo tipo hidrogênio
e os autovalores,
, de energia levando em conta apenas o potencial de Coulomb.
Para o orbital em que a função radial é
determine o raio mais provável do átomo, isto é, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Dado:
.
Para o orbital em que a função radial é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou está na área de Mecânica Quântica, mais especificamente na resolução da Equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. A gente precisa encontrar o raio mais provável do átomo, ou seja, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Para isso, vamos usar a função radial fornecida e a expressão para a probabilidade, que é $ p_{n l} = R_{n l}^{2} r^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o raio mais provável. Em mecânica quântica, a posição de um elétron não é fixa, mas sim descrita por uma função de onda. A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa distância do núcleo é dada por $ p_{n l}® = R_{n l}^{2}® \cdot r^{2} $. O raio mais provável é o valor de $ r $ que maximiza essa probabilidade.
Passo 3
Agora, vamos focar na função radial fornecida:
Aqui, $ a_{0} $ é o raio de Bohr, uma constante fundamental na física do átomo de hidrogênio.
Passo 4
Vamos calcular $ p_{21}® $:
Substituindo $ R_{21}® $:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Para encontrar o raio mais provável, precisamos encontrar o valor de $ r $ que maximiza $ p_{21}® $. Isso significa que vamos derivar $ p_{21}® $ em relação a $ r $ e igualar a derivada a zero:
Passo 7
Derivando $ p_{21}® $:
Fatorando:
Passo 8
Igualando a derivada a zero:
A exponencial e os termos multiplicativos não podem ser zero, então:
Resposta
O raio mais provável do átomo de hidrogênio para o orbital considerado é $ r = 4 a_{0} $, onde $ a_{0} $ é o raio de Bohr.