Considere as autofunções da equação de Schrödinger para o elétron no átomo tipo hidrogênio psin l ml(r, theta, varphi)=Rn l(r) Yl ml(theta, varphi) e os autovalores, En, de energia levando em conta apenas o potencial de Coulomb.
Para o orbital em que a função radial é
R21(r)=12 raiz6 a0^3 ra0 e^-r2 a0,
determine o raio mais provável do átomo, isto é, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Dado: pn l=Rn l^2 r^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou está na área de Mecânica Quântica, mais especificamente na resolução da Equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. A gente precisa encontrar o raio mais provável do átomo, ou seja, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Para isso, vamos usar a função radial fornecida e a expressão para a probabilidade, que é $ p_{n l} = R_{n l}^{2} r^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o raio mais provável. Em mecânica quântica, a posição de um elétron não é fixa, mas sim descrita por uma função de onda. A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa distância do núcleo é dada por $ p_{n l}® = R_{n l}^{2}® \cdot r^{2} $. O raio mais provável é o valor de $ r $ que maximiza essa probabilidade.

Passo 3

Agora, vamos focar na função radial fornecida:
R21(r) = 12 raiz6 a0^3 ra0 e^-r2 a0
Aqui, $ a_{0} $ é o raio de Bohr, uma constante fundamental na física do átomo de hidrogênio.

Passo 4

Vamos calcular $ p_{21}® $:
p21(r)
Substituindo $ R_{21}® $:
p21(r) = R21^2(r) cdot r^2

Passo 5

Simplificando a expressão:
p21(r) = 14 cdot 6 a0^3 cdot r^2a0^2 e^-ra0 cdot r^2 = 124 a0^5 r^4 e^-ra0

Passo 6

Para encontrar o raio mais provável, precisamos encontrar o valor de $ r $ que maximiza $ p_{21}® $. Isso significa que vamos derivar $ p_{21}® $ em relação a $ r $ e igualar a derivada a zero:
r

Passo 7

Derivando $ p_{21}® $:
p21(r)
Fatorando:
dp21dr = 124 a0^5 ( 4 r^3 e^-ra0 - r^4 1a0 e^-ra0 )

Passo 8

Igualando a derivada a zero:
r^3 e^-ra024 a0^5 ( 4 - ra0 ) = 0
A exponencial e os termos multiplicativos não podem ser zero, então:
4 - ra0 = 0 implies r = 4 a0

Resposta

O raio mais provável do átomo de hidrogênio para o orbital considerado é $ r = 4 a_{0} $, onde $ a_{0} $ é o raio de Bohr.

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