Considere as bases de
(o espaço das matrizes
)
e
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear onde precisamos determinar a matriz de mudança de base
entre duas bases dadas,
e
, no espaço das matrizes
, que chamamos de
. A gente vai precisar entender como expressar as matrizes da base
em termos da base
. Isso envolve resolver sistemas lineares e entender o conceito de mudança de base. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são bases e a matriz de mudança de base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, temos duas bases
e
, cada uma com 4 matrizes
, já que
é um espaço vetorial de dimensão 4.
A matriz de mudança de base
é uma matriz que, basicamente, nos ajuda a converter as coordenadas de uma matriz expressa na base
para coordenadas na base
. Para isso, precisamos expressar cada uma das matrizes de
como combinação linear das matrizes de
.
Passo 3
Vamos listar as bases:
Base
:
Base
:
Nosso objetivo é expressar cada matriz de
como uma combinação das matrizes de
. Ou seja, para cada matriz
em
, queremos encontrar coeficientes
tais que:
onde
são as matrizes da base
.
Passo 4
Vamos começar com a primeira matriz de
:
Queremos achar
tais que:
Vamos igualar os elementos correspondentes das matrizes:
Para a posição (1,1):
Para a posição (1,2):
Para a posição (2,1):
Para a posição (2,2):
Agora temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas.
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Equação 1:
Equação 2:
Equação 3:
Equação 4:
Vamos resolver passo a passo. Primeiro, da equação (1), podemos isolar uma das variáveis, digamos
:
Agora, substituímos
da equação (1a) nas equações (2), (3) e (4).
Substituindo em (2):
Substituindo em (3):
Substituindo em (4):
Agora temos um sistema com 3 equações e 3 incógnitas:
Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Primeiro, multiplicamos (3a) por 8 para facilitar a eliminação com (2a):
Subtraindo (2a) de (3b):
Agora, multiplicamos (4a) por 8:
Comparando com (2a):
Podemos multiplicar (2a) por 8 e subtrair de (4b) para eliminar
:
Simplificando (6):
Agora temos:
Vamos multiplicar (6a) por 37 para eliminar
:
Somando com (5):
Agora, substituímos
em (6a):
Agora, substituímos
e
em (1a) para encontrar
:
Por fim, substituímos
,
e
em uma das equações originais para achar
. Vamos usar a equação (3a):
Resposta
A matriz de mudança de base
é então:
Ou, organizando em colunas correspondentes a cada vetor de
expresso em
: