Considere as bases de M2 times 2 (o espaço das matrizes 2 times 2 )
alpha=[ll 1 & 2 2 & 1 ],[rr 2 & 0 -1 & 1 ],[ll 3 & 3 1 & 1 ],[ll 0 & 8 1 & 8 ]
e
beta=[ll 4 & 2 0 & 1 ],[ll 2 & 2 3 & 1 ],[ll 5 & 3 0 & 3 ],[ll 3 & 8 2 & 4 ]
Determine [I]beta^alpha

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear onde precisamos determinar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha entre duas bases dadas, alpha e beta, no espaço das matrizes 2 times 2, que chamamos de M2 times 2. A gente vai precisar entender como expressar as matrizes da base beta em termos da base alpha. Isso envolve resolver sistemas lineares e entender o conceito de mudança de base. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são bases e a matriz de mudança de base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, temos duas bases alpha e beta, cada uma com 4 matrizes 2 times 2, já que M2 times 2 é um espaço vetorial de dimensão 4.
A matriz de mudança de base [I]beta^alpha é uma matriz que, basicamente, nos ajuda a converter as coordenadas de uma matriz expressa na base beta para coordenadas na base alpha. Para isso, precisamos expressar cada uma das matrizes de beta como combinação linear das matrizes de alpha.

Passo 3

Vamos listar as bases:
Base alpha:
alpha = 1 & 2 2 & 1 , 2 & 0 -1 & 1 , 3 & 3 1 & 1 , 0 & 8 1 & 8
Base beta:
beta = 4 & 2 0 & 1 , 2 & 2 3 & 1 , 5 & 3 0 & 3 , 3 & 8 2 & 4
Nosso objetivo é expressar cada matriz de beta como uma combinação das matrizes de alpha. Ou seja, para cada matriz Bi em beta, queremos encontrar coeficientes a1, a2, a3, a4 tais que:
Bi = a1 A1 + a2 A2 + a3 A3 + a4 A4
onde Aj são as matrizes da base alpha.

Passo 4

Vamos começar com a primeira matriz de beta:
B1 = 4 & 2 0 & 1
Queremos achar a1, a2, a3, a4 tais que:
4 & 2 0 & 1 = a1 1 & 2 2 & 1 + a2 2 & 0 -1 & 1 + a3 3 & 3 1 & 1 + a4 0 & 8 1 & 8
Vamos igualar os elementos correspondentes das matrizes:
Para a posição (1,1):
4 = a1 cdot 1 + a2 cdot 2 + a3 cdot 3 + a4 cdot 0
Para a posição (1,2):
2 = a1 cdot 2 + a2 cdot 0 + a3 cdot 3 + a4 cdot 8
Para a posição (2,1):
0 = a1 cdot 2 + a2 cdot (-1) + a3 cdot 1 + a4 cdot 1
Para a posição (2,2):
1 = a1 cdot 1 + a2 cdot 1 + a3 cdot 1 + a4 cdot 8
Agora temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas.

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
Equação 1:
a1 + 2a2 + 3a3 = 4 (1)
Equação 2:
2a1 + 0a2 + 3a3 + 8a4 = 2 (2)
Equação 3:
2a1 - a2 + a3 + a4 = 0 (3)
Equação 4:
a1 + a2 + a3 + 8a4 = 1 (4)
Vamos resolver passo a passo. Primeiro, da equação (1), podemos isolar uma das variáveis, digamos a1:
a1 = 4 - 2a2 - 3a3 (1a)
Agora, substituímos a1 da equação (1a) nas equações (2), (3) e (4).
Substituindo em (2):
2(4 - 2a2 - 3a3) + 3a3 + 8a4 = 2 8 - 4a2 - 6a3 + 3a3 + 8a4 = 2 -4a2 - 3a3 + 8a4 = -6 (2a)
Substituindo em (3):
2(4 - 2a2 - 3a3) - a2 + a3 + a4 = 0 8 - 4a2 - 6a3 - a2 + a3 + a4 = 0 -5a2 - 5a3 + a4 = -8 (3a)
Substituindo em (4):
4 - 2a2 - 3a3 + a2 + a3 + 8a4 = 1 4 - a2 - 2a3 + 8a4 = 1 -a2 - 2a3 + 8a4 = -3 (4a)
Agora temos um sistema com 3 equações e 3 incógnitas:
-4a2 - 3a3 + 8a4 = -6 (2a) -5a2 - 5a3 + a4 = -8 (3a) -a2 - 2a3 + 8a4 = -3 (4a)
Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Primeiro, multiplicamos (3a) por 8 para facilitar a eliminação com (2a):
-40a2 - 40a3 + 8a4 = -64 (3b)
Subtraindo (2a) de (3b):
(-40a2 - 40a3 + 8a4) - (-4a2 - 3a3 + 8a4) = -64 - (-6) -36a2 - 37a3 = -58 (5)
Agora, multiplicamos (4a) por 8:
-8a2 - 16a3 + 64a4 = -24 (4b)
Comparando com (2a):
-4a2 - 3a3 + 8a4 = -6 (2a)
Podemos multiplicar (2a) por 8 e subtrair de (4b) para eliminar a4:
(-8a2 - 16a3 + 64a4) - (-32a2 - 24a3 + 64a4) = -24 - (-48) 24a2 + 8a3 = 24 (6)
Simplificando (6):
3a2 + a3 = 3 (6a)
Agora temos:
-36a2 - 37a3 = -58 (5) 3a2 + a3 = 3 (6a)
Vamos multiplicar (6a) por 37 para eliminar a3:
111a2 + 37a3 = 111 (6b)
Somando com (5):
(-36a2 - 37a3) + (111a2 + 37a3) = -58 + 111 75a2 = 53 a2 = 5375
Agora, substituímos a2 em (6a):
3(5375) + a3 = 3 15975 + a3 = 3 a3 = 3 - 15975 = 225 - 15975 = 6675 = 2225
Agora, substituímos a2 e a3 em (1a) para encontrar a1:
a1 = 4 - 2(5375) - 3(2225) a1 = 4 - 10675 - 6625 = 4 - 10675 - 19875 a1 = 30075 - 106 + 19875 = 300 - 30475 = -475
Por fim, substituímos a1, a2 e a3 em uma das equações originais para achar a4. Vamos usar a equação (3a):
-5(5375) - 5(2225) + a4 = -8 -26575 - 11025 + a4 = -8 -26575 - 33075 + a4 = -8 -59575 + a4 = -8 a4 = -8 + 59575 = -60075 + 59575 = -575 = -115

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta^alpha é então:
[I]beta^alpha = -dfrac475 & dfrac5375 & dfrac2225 & -dfrac115
Ou, organizando em colunas correspondentes a cada vetor de beta expresso em alpha:
[I]beta^alpha = -dfrac475 & dfrac5375 & dfrac2225 & -dfrac115

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