Considere que, no Campeonato Brasileiro, apenas 10 times tenham condições de atingir o G-4 (conjunto das quatro primeiras posições da tabela), que dá uma vaga ao time na Taça Libertadores da América. De quantas maneiras o Brasil pode mandar seus 4 representantes à Libertadores?

Passo 1

Então, galera, a gente tem um problema do Campeonato Brasileiro onde só 10 times podem chegar no G-4, que são as quatro primeiras posições da tabela. Esses quatro lugares garantem uma vaga na Taça Libertadores da América. A pergunta é: de quantas maneiras o Brasil pode escolher seus 4 representantes para a Libertadores? Vamos usar um pouco de combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos escolhendo 4 times dentre 10 disponíveis, sem importar a ordem em que eles são escolhidos. Isso é um tipo de combinação, onde a ordem não importa.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Aqui, $ n $ é o número total de itens (no nosso caso, 10 times) e $ k $ é o número de itens que queremos escolher (4 representantes).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
C(10, 4) = 10!4! times (10 - 4)! = 10!4! times 6!

Passo 5

Agora, vamos calcular os fatoriais:
10! = 10 times 9 times 8 times 7 times 6! = 5040 times 6! (observamos que 10! contém 6! ) é
Então, podemos simplificar:
10!4! times 6! = 5040 times 6!4! times 6! = 50404!

Passo 6

Calculando $ 4! $:
4!
Então:
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24

Resposta

Existem 210 maneiras de o Brasil mandar seus 4 representantes à Libertadores.

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