O valor de (tg 10° + cotg 10°)sen 20° é:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o valor de (tan 10° + cot 10°) cdot sin 20°. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas, especialmente as relações entre a tangente, cotangente e seno. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções tangente e cotangente:
tan theta = sin thetacos theta
cot theta = cos thetasin theta
Então, substituindo theta por 10°:
tan 10° = sin 10°cos 10°
cot 10° = cos 10°sin 10°

Passo 3

Agora, somamos tan 10° e cot 10°:
tan 10° + cot 10° = sin 10°cos 10° + cos 10°sin 10°
Para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. Vamos encontrar um denominador comum:
sin 10° cdot sin 10° + cos 10° cdot cos 10°cos 10° cdot sin 10° = sin^2 10° + cos^2 10°cos 10° cdot sin 10°

Passo 4

Sabemos pela identidade trigonométrica fundamental que:
sin^2 theta + cos^2 theta = 1
Aplicando isso:
1cos 10° cdot sin 10°
Então,
tan 10° + cot 10° = 1cos 10° cdot sin 10°

Passo 5

Agora, voltamos à expressão original:
(tan 10° + cot 10°) cdot sin 20°
Substituindo o que encontramos:
1cos 10° cdot sin 10° cdot sin 20°

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Note que:
sin 20° = 2 sin 10° cos 10°
Isso vem da identidade da fórmula do seno do dobro do ângulo:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Então,
sin 20° = 2 sin 10° cos 10°

Passo 7

Substituindo sin 20° na expressão:
1cos 10° cdot sin 10° cdot 2 sin 10° cos 10°
As parcelas cos 10° cdot sin 10° se cancelam:
1cos 10° cdot sin 10° cdot 2 sin 10° cos 10° = 2

Resposta

O valor de (tan 10° + cot 10°) cdot sin 20° é 2.

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