Considere o campo de escoamento dado pela função corrente Psi=10 x y+17. O escoamento é incompressível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar se um escoamento descrito pela função corrente Psi = 10xy + 17 é incompressível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre função corrente e escoamento incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em escoamentos bidimensionais (ou seja, que ocorrem em um plano), podemos usar a função corrente Psi para determinar as componentes da velocidade do fluido. As componentes da velocidade u e v estão relacionadas à função corrente da seguinte forma:
u = partial Psipartial y e v = -partial Psipartial x
Isso significa que, para encontrar u e v, derivamos Psi em relação a y e x, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
u = partialpartial y(10xy + 17) = 10x
v = -partialpartial x(10xy + 17) = -10y
Agora temos as componentes da velocidade: u = 10x e v = -10y.

Passo 4

Para verificar se o escoamento é incompressível, usamos a condição de incompressibilidade, que afirma que a divergência da velocidade deve ser zero. Matematicamente, isso é:
nabla cdot v = partial upartial x + partial vpartial y = 0
Vamos calcular cada derivada:
partial upartial x = partialpartial x(10x) = 10
partial vpartial y = partialpartial y(-10y) = -10
Somando:
10 + (-10) = 0
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Resposta

Sim, o escoamento é incompressível.

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