Considere o campo de escoamento dado pela função corrente
. O escoamento é incompressível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar se um escoamento descrito pela função corrente
é incompressível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre função corrente e escoamento incompressível.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em escoamentos bidimensionais (ou seja, que ocorrem em um plano), podemos usar a função corrente
para determinar as componentes da velocidade do fluido. As componentes da velocidade
e
estão relacionadas à função corrente da seguinte forma:
Isso significa que, para encontrar
e
, derivamos
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
Agora temos as componentes da velocidade:
e
.
Passo 4
Para verificar se o escoamento é incompressível, usamos a condição de incompressibilidade, que afirma que a divergência da velocidade deve ser zero. Matematicamente, isso é:
Vamos calcular cada derivada:
Somando:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.
Resposta
Sim, o escoamento é incompressível.