Considerando o campo de velocidades unidimensional
, determine a expressão para a massa específica
, que é uma função apenas do tempo.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício de mecânica dos fluidos que nos dá um campo de velocidades unidimensional descrito por $ v_{x} = A x t $. A tarefa é encontrar a expressão para a massa específica
, que depende apenas do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de continuidade, que é fundamental para conservar a massa em um fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é massa específica (
). Ela representa a massa por unidade de volume do fluido. No nosso caso,
depende apenas do tempo, ou seja, a densidade é uniforme no espaço, mas pode variar com o tempo.
Passo 3
A equação de continuidade para um fluxo unidimensional é dada por:
Essa equação garante que a massa seja conservada no fluxo.
Passo 4
Como
é uma função apenas do tempo (
), a derivada parcial de
em relação a
é zero:
Portanto, a equação de continuidade simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo de volta na equação de continuidade:
Passo 6
Temos agora uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver essa equação, podemos usar o fator integrante. Primeiro, identifiquemos os termos:
O fator integrante (
) é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, basta resolver para
:
Resposta
A massa específica em função do tempo é dada por:
Onde
é a densidade inicial do fluido.