Considerando o campo de velocidades unidimensional vx=A x t, determine a expressão para a massa específica rho(t), que é uma função apenas do tempo.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício de mecânica dos fluidos que nos dá um campo de velocidades unidimensional descrito por $ v_{x} = A x t $. A tarefa é encontrar a expressão para a massa específica vx = A x t , que depende apenas do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de continuidade, que é fundamental para conservar a massa em um fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é massa específica ( rho). Ela representa a massa por unidade de volume do fluido. No nosso caso, rho depende apenas do tempo, ou seja, a densidade é uniforme no espaço, mas pode variar com o tempo.

Passo 3

A equação de continuidade para um fluxo unidimensional é dada por:
partial rhopartial t + partialpartial x (rho vx) = 0
Essa equação garante que a massa seja conservada no fluxo.

Passo 4

Como rho é uma função apenas do tempo ( rho(t)), a derivada parcial de rho em relação a x é zero:
partial rhopartial x = 0
Portanto, a equação de continuidade simplifica para:
d rhod t + rho partial vxpartial x = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de vx em relação a x:
vx = A x t partial vxpartial x = A t
Substituindo de volta na equação de continuidade:
d rhod t + A t rho = 0

Passo 6

Temos agora uma equação diferencial linear de primeira ordem:
d rhod t + A t rho = 0
Para resolver essa equação, podemos usar o fator integrante. Primeiro, identifiquemos os termos:
P(t) = A t Q(t) = 0
O fator integrante ( mu(t)) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral A t , dt = e^A t^22

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^A t^22 d rhod t + A t e^A t^22 rho = 0
Isso simplifica para:
dd t ( rho e^A t^22 ) = 0

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a t:
rho e^A t^22 = C
Onde C é a constante de integração. Para encontrar rho(t), basta resolver para rho:
rho(t) = C e^-A t^22

Resposta

A massa específica em função do tempo é dada por:
rho(t) = rho0 , e^-A t^22
Onde rho0 é a densidade inicial do fluido.

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