Represente as posições aproximadas de 4 linhas de correntes (equidistantes com relação ao valor da função corrente) para o escoamento entre duas placas paralelas estacionárias com um perfil parabólico velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar quatro linhas de corrente igualmente espaçadas para um fluxo entre duas placas paralelas que estão paradas. O perfil de velocidade desse fluxo é parabólico. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o perfil de velocidade parabólico e como determinar as linhas de corrente a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um escoamento entre placas paralelas conhecemos a distribuição de velocidade. Como as placas estão paradas e o fluxo tem perfil parabólico, a velocidade $ u(y) $ varia com a posição $ y $ perpendicular às placas. A equação geral para um perfil parabólico é:
u(y)
onde:
  • $ U_{max} $ é a velocidade máxima no meio do escoamento,
  • $ h $ é a distância de cada placa até o meio do escoamento.

Passo 3

Agora, vamos pensar na função corrente $ \psi $, que relaciona a posição $ y $ com a velocidade $ u(y) $. A função corrente em escoamentos unidimensionais como esse é dada por:
psi
Substituindo a equação de $ u(y) $:
y
Considerando $ \psi = 0 $ nas placas ($ y = \pm h $):
u(y)
Então, a função corrente central ($ y = 0 $) é:
psi(y) = integral u(y) , dy

Passo 4

Precisamos determinar quatro valores de $ \psi $ igualmente espaçados entre $ 0 $ e $ \frac{2}{3} U_{max} h $. Como temos quatro linhas de corrente, temos três intervalos, então o espaçamento será:
psi
Portanto, os valores de $ \psi $ serão:
0

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ y $ em função de $ \psi $. A função corrente que encontramos foi:
y
Vamos resolver para $ y $ cada uma das $ \psi_i $:
psi
Essa equação pode ser resolvida numericamente para encontrar os valores de $ y $ correspondentes a cada $ \psi_i $.

Passo 6

Com os valores de $ y $ obtidos para cada $ \psi_i $, podemos traçar as linhas de corrente. Cada linha de corrente será uma curva que segue a distribuição de velocidade parabólica. Como estamos representando quatro linhas de corrente igualmente espaçadas, elas estarão distribuídas de maneira uniforme entre as duas placas, seguindo o perfil de velocidade.

Resposta

As quatro linhas de corrente equidistantes para o escoamento entre duas placas paralelas com perfil parabólico de velocidade estão localizadas nas posições $ y $ correspondentes aos valores de função corrente $ \psi_1 = \frac{1}{6} U_{max} h $, $ \psi_2 = \frac{1}{3} U_{max} h $, $ \psi_3 = \frac{1}{2} U_{max} h $ e $ \psi_4 = \frac{2}{3} U_{max} h $, distribuídas uniformemente entre as placas seguindo o perfil parabólico.

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