Considere o campo de velocidade estacionário, bidimensional dado por:
V=(u, v)=(1,6+1,8 x) i+(1,5-1,8 y) j
Verifique que esse campo de escoamento é incompressível.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos um campo de velocidade bidimensional e estacionário dado por:
V = (1,6 + 1,8x)i + (1,5 - 1,8y)j
Nosso objetivo é verificar se esse campo de escoamento é incompressível. Para isso, vamos precisar entender o conceito de divergência de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo de escoamento ser incompressível. Um campo de velocidade é considerado incompressível se a sua divergência for igual a zero em todos os pontos do espaço. A divergência nos dá uma ideia de como o campo se “espalha” ou “se contrai” num ponto específico.

Passo 3

A divergência de um campo vetorial bidimensional nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y é calculada da seguinte forma:
Ou seja, a soma das derivadas parciais das componentes do campo de velocidade em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais das componentes partial upartial x = 1,8 e partial vpartial y = -1,8 do nosso campo de velocidade.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, somamos as derivadas parciais que calculamos:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y = 1,8 + (-1,8) = 0

Resposta

Como a divergência do campo de velocidade é zero ( ), concluímos que o campo de escoamento é incompressível.

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