Considere o campo de velocidade estacionário, bidimensional dado por:
Verifique que esse campo de escoamento é incompressível.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos um campo de velocidade bidimensional e estacionário dado por:
Nosso objetivo é verificar se esse campo de escoamento é incompressível. Para isso, vamos precisar entender o conceito de divergência de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo de escoamento ser incompressível. Um campo de velocidade é considerado incompressível se a sua divergência for igual a zero em todos os pontos do espaço. A divergência nos dá uma ideia de como o campo se “espalha” ou “se contrai” num ponto específico.
Passo 3
A divergência de um campo vetorial bidimensional
é calculada da seguinte forma:
Ou seja, a soma das derivadas parciais das componentes do campo de velocidade em relação às suas respectivas variáveis.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais das componentes
e
do nosso campo de velocidade.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas parciais que calculamos:
Resposta
Como a divergência do campo de velocidade é zero (
), concluímos que o campo de escoamento é incompressível.