Responda as questões propostas:
B - Obtenha a equação geral da Aleta a partir de um balanço de energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão nos pede para obter a equação geral da Aleta usando um balanço de energia. Isso está relacionado ao estudo de transferência de calor, especificamente sobre como o calor se espalha ao longo de uma aleta (como uma espécie de extensão que ajuda a dissipar calor).
Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos básicos de condução de calor e convecção, além de saber como aplicar o balanço de energia nesses contextos.

Passo 2

Vamos começar fazendo um balanço de energia na aleta. Imagine uma pequena seção da aleta com comprimento diferencial qcond = -k A dTdx . O calor que entra nessa seção por condução deve ser igual ao calor que sai por condução mais o calor perdido por convecção para o ambiente.
A condução de calor ao longo da aleta é descrita pela Lei de Fourier, que em uma dimensão é:
onde:
  • é o fluxo de calor por condução,
  • é a condutividade térmica do material da aleta,
  • é a área da seção transversal,
  • é o gradiente de temperatura.

Passo 3

Agora, consideramos a perda de calor por convecção para o ambiente. Isso é dado pela Lei de Resfriamento de Newton:
qconv = h P (T - Tinfty)
onde:
  • é o fluxo de calor por convecção,
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é o perímetro da aleta,
  • é a temperatura na aleta,
  • é a temperatura do ambiente.

Passo 4

No balanço de energia, o aumento de fluxo de calor devido à condução deve ser igual à soma do fluxo de calor que sai por condução e por convecção. Matemáticamente, isso fica:
ddx( -k A dTdx ) = h P (T - Tinfty)
Simplificando a expressão:
-k A d^2 Tdx^2 = h P (T - Tinfty)

Passo 5

Dividindo ambos os lados por d^2 Tdx^2 - h Pk A (T - Tinfty) = 0 , a equação fica:
Essa é a equação diferencial geral da aleta obtida a partir do balanço de energia.

Resposta

A equação geral da aleta, obtida pelo balanço de energia, é:
d^2 Tdx^2 - h Pk A (T - Tinfty) = 0

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