Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional dado pelos seguintes componentes no plano xy.
Calcule o campo de aceleração (expressões para as componentes da aceleração
e
), e calcule a aceleração (módulo) no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional no plano xy, com as componentes de velocidade
e
definidas pelas seguintes equações:
O que precisamos fazer é calcular o campo de aceleração, ou seja, encontrar as expressões para as componentes da aceleração
e
. Além disso, vamos calcular o módulo da aceleração no ponto específico
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial aplicados a campos de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar as componentes da aceleração em um campo de velocidade. A aceleração em um ponto
em um fluxo bidimensional pode ser calculada usando as derivadas parciais das componentes de velocidade. As fórmulas são:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e o mesmo vale para
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para
:
-
Derivada de
em relação a : Portanto, -
Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, calculamos
usando as derivadas que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando a expressão:
Calculando cada termo:
Então,
Simplificando termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos constantes:
Portanto,
Arredondando:
Passo 5
Vamos agora calcular as derivadas parciais necessárias para
:
-
Derivada de
em relação a : Portanto, -
Derivada de
em relação a :
Passo 6
Agora, calculamos
usando as derivadas que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando a expressão:
Calculando cada termo:
Então,
Simplificando termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos constantes:
Portanto,
Arredondando:
Passo 7
Agora que temos as expressões para
e
, vamos calcular o módulo da aceleração no ponto específico
.
Primeiro, substituímos os valores de
e
nas expressões:
Agora, calculamos o módulo da aceleração:
Calculando os quadrados:
Somando:
Finalmente,
Resposta
As componentes da aceleração são dadas por:
No ponto
, o módulo da aceleração é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Transformar as seguintes pressões em Pascal:
a. 15 mca abs;
a. 15 mca abs;
Dois líquidos newtonianos imiscíveis escoam em regime permanente entre duas placas paralelas grandes sob a influência de um gradiente de pressão aplicado. A placa inferior é fixa, mas a placa superior é puxada com uma velocidade constante de
. A espessura h de cada camada de fluido é de
. Os perfis de velocidades em ambas as camadas são dados por:
onde a, b e c são constantes.
onde a, b e c são constantes.
R.10c: Fluido_1|parede
Fluido_2|parede
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se Pa.s e cada placa tem uma área superficial de
Fluido_2|parede
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se
b) Os engenheiros, muitas vezes na prática, consideram a massa específica do gás como zero. Qual o erro devido esta simplificação?
Estime as difusividades das seguintes misturas gasosas:
a) Acetona em ar, e
.
b) Nitrogênio em gás carbônico (1 atm a )
c) Cloreto de hidrogênio em ar
a) Acetona em ar,
b) Nitrogênio em gás carbônico (1 atm a
c) Cloreto de hidrogênio em ar