Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional dado pelos seguintes componentes no plano xy.
Calcule o campo de aceleração (expressões para as componentes da aceleração
e
), e calcule a aceleração (módulo) no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional no plano xy, com as componentes de velocidade
e
definidas pelas seguintes equações:
O que precisamos fazer é calcular o campo de aceleração, ou seja, encontrar as expressões para as componentes da aceleração
e
. Além disso, vamos calcular o módulo da aceleração no ponto específico
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial aplicados a campos de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar as componentes da aceleração em um campo de velocidade. A aceleração em um ponto
em um fluxo bidimensional pode ser calculada usando as derivadas parciais das componentes de velocidade. As fórmulas são:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e o mesmo vale para
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para
:
-
Derivada de
em relação a : Portanto, -
Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, calculamos
usando as derivadas que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando a expressão:
Calculando cada termo:
Então,
Simplificando termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos constantes:
Portanto,
Arredondando:
Passo 5
Vamos agora calcular as derivadas parciais necessárias para
:
-
Derivada de
em relação a : Portanto, -
Derivada de
em relação a :
Passo 6
Agora, calculamos
usando as derivadas que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando a expressão:
Calculando cada termo:
Então,
Simplificando termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos constantes:
Portanto,
Arredondando:
Passo 7
Agora que temos as expressões para
e
, vamos calcular o módulo da aceleração no ponto específico
.
Primeiro, substituímos os valores de
e
nas expressões:
Agora, calculamos o módulo da aceleração:
Calculando os quadrados:
Somando:
Finalmente,
Resposta
As componentes da aceleração são dadas por:
No ponto
, o módulo da aceleração é aproximadamente
.