Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional dado pelos seguintes componentes no plano xy.
R21: ax & =-0,2341+1,75 x ay & =0,6894+1,75 y |a| & =4,65 m / s^2
& u=0,205+0,97 x+0,851 y & v=-0,509+0,953 x-0,97 y
Calcule o campo de aceleração (expressões para as componentes da aceleração ax e ay ), e calcule a aceleração (módulo) no ponto (x, y)=(2,1,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional no plano xy, com as componentes de velocidade u &= 0,205 + 0,97x + 0,851y v &= -0,509 + 0,953x - 0,97y e definidas pelas seguintes equações:
O que precisamos fazer é calcular o campo de aceleração, ou seja, encontrar as expressões para as componentes da aceleração e . Além disso, vamos calcular o módulo da aceleração no ponto específico . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial aplicados a campos de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar as componentes da aceleração em um campo de velocidade. A aceleração em um ponto ax &= u partial upartial x + v partial upartial y ay &= u partial vpartial x + v partial vpartial y em um fluxo bidimensional pode ser calculada usando as derivadas parciais das componentes de velocidade. As fórmulas são:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e o mesmo vale para .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para partial upartial x = 0,97 :
  1. Derivada de partial upartial y = 0,851 em relação a :
    Portanto,
  2. Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos ax = u cdot partial upartial x + v cdot partial upartial y usando as derivadas que encontramos:
ax = (0,205 + 0,97x + 0,851y) cdot 0,97 + (-0,509 + 0,953x - 0,97y) cdot 0,851
Substituindo os valores:
ax = 0,97(0,205) + 0,97(0,97x) + 0,97(0,851y) + (-0,509)(0,851) + 0,953x(0,851) + (-0,97y)(0,851)
Simplificando a expressão:
ax = 0,19885 + 0,9409x + 0,82547y - 0,433359 + 0,811103x - 0,82547y
Calculando cada termo:
  1. ax = -0,234509 + 1,7520x
  2. ax = -0,2341 + 1,75x
Então,
Simplificando termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:
Portanto,
Arredondando:

Passo 5

Vamos agora calcular as derivadas parciais necessárias para partial vpartial x = 0,953 :
  1. Derivada de partial vpartial y = -0,97 em relação a :
    Portanto,
  2. Derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, calculamos ay = u cdot partial vpartial x + v cdot partial vpartial y usando as derivadas que encontramos:
ay = (0,205 + 0,97x + 0,851y) cdot 0,953 + (-0,509 + 0,953x - 0,97y) cdot (-0,97)
Substituindo os valores:
ay = 0,953(0,205) + 0,953(0,97x) + 0,953(0,851y) + (-0,509)(-0,97) + 0,953x(-0,97) + (-0,97y)(-0,97)
Simplificando a expressão:
ay = 0,195565 + 0,92341x + 0,810103y + 0,49373 - 0,92341x + 0,9409y
Calculando cada termo:
  1. ay = 0,6893 + 1,7510y
  2. ay = 0,6894 + 1,75y
Então,
Simplificando termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:
Portanto,
Arredondando:

Passo 7

Agora que temos as expressões para ax &= -0,2341 + 1,75 times 2 &= -0,2341 + 3,5 &= 3,2659 , m/s^2 e ay &= 0,6894 + 1,75 times 1,5 &= 0,6894 + 2,625 &= 3,3144 , m/s^2 , vamos calcular o módulo da aceleração no ponto específico |a| = raizax^2 + ay^2 = raiz(3,2659)^2 + (3,3144)^2 .
Primeiro, substituímos os valores de (3,2659)^2 approx 10,6592 e (3,3144)^2 approx 10,9892 nas expressões:
10,6592 + 10,9892 = 21,6484
|a| = raiz21,6484 approx 4,65 , m/s^2
Agora, calculamos o módulo da aceleração:
Calculando os quadrados:
Somando:
Finalmente,

Resposta

As componentes da aceleração são dadas por:
ax = -0,2341 + 1,75x e ay = 0,6894 + 1,75y
No ponto , o módulo da aceleração é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Transformar as seguintes pressões em Pascal:
a. 15 mca abs;
Dois líquidos newtonianos imiscíveis escoam em regime permanente entre duas placas paralelas grandes sob a influência de um gradiente de pressão aplicado. A placa inferior é fixa, mas a placa superior é puxada com uma velocidade constante de U=10 m / s. A espessura h de cada camada de fluido é de 0,5 m. Os perfis de velocidades em ambas as camadas são dados por:
V1=b+c y-9 y^2, 0 <= y <= 0,5
V2=6+a y-3 y^2, -0,5 <= y <= 0
onde a, b e c são constantes.
R10a: a=10,5 ; b=6 ; c=12,5
R10b: mu1 / mu2=0,84
R.10c: Fluido_1|parede =-0,014 N
Fluido_2|parede =0,064 N
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades mu1 / mu2
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se mu1=10^-3 Pa.s e cada placa tem uma área superficial de 4 m^2
b) Os engenheiros, muitas vezes na prática, consideram a massa específica do gás como zero. Qual o erro devido esta simplificação?
Estime as difusividades das seguintes misturas gasosas:
a) Acetona em ar, (0^circ C e P=1 atm).
b) Nitrogênio em gás carbônico (1 atm a 25^circ C )
c) Cloreto de hidrogênio em ar (200 kN / m^2 e 25^circ C)