Dois líquidos newtonianos imiscíveis escoam em regime permanente entre duas placas paralelas grandes sob a influência de um gradiente de pressão aplicado. A placa inferior é fixa, mas a placa superior é puxada com uma velocidade constante de
. A espessura h de cada camada de fluido é de
. Os perfis de velocidades em ambas as camadas são dados por:
onde a, b e c são constantes.
R.10c: Fluido_1|parede
Fluido_2|parede
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se
Pa.s e cada placa tem uma área superficial de
onde a, b e c são constantes.
Fluido_2|parede
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois líquidos que não se misturam (imiscíveis) fluindo entre duas placas paralelas. A placa de baixo está parada, e a de cima está se movendo a uma velocidade constante de
. Cada camada de fluido tem uma espessura de
. As velocidades dos fluidos são dadas por:
Queremos determinar os valores das constantes
,
e
na parte (a). Para isso, vamos precisar usar as condições de contorno e a continuidade das velocidades e tensões na interface entre os dois fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as condições de contorno que temos:
- Na placa inferior (
), o fluido 2 está em contato com a placa parada. Portanto, a velocidade do fluido 2 nessa posição deve ser zero:
- Na interface entre os dois fluidos (
), as velocidades dos dois fluidos devem ser iguais para garantir que não haja deslizamento entre eles:
- Na placa superior (
), o fluido 1 está em contato com a placa que se move a uma velocidade constante :
Com essas três equações, podemos resolver para as constantes
,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a primeira condição de contorno na placa inferior:
Resolvendo:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a segunda condição de contorno na interface (
):
Portanto,
.
Passo 5
Por último, aplicamos a terceira condição de contorno na placa superior:
Substituindo os valores conhecidos:
Então,
.
Resposta
As constantes determinadas são: