Dois líquidos newtonianos imiscíveis escoam em regime permanente entre duas placas paralelas grandes sob a influência de um gradiente de pressão aplicado. A placa inferior é fixa, mas a placa superior é puxada com uma velocidade constante de U=10 m / s. A espessura h de cada camada de fluido é de 0,5 m. Os perfis de velocidades em ambas as camadas são dados por:
V1=b+c y-9 y^2, 0 <= y <= 0,5
V2=6+a y-3 y^2, -0,5 <= y <= 0
onde a, b e c são constantes.
R10a: a=10,5 ; b=6 ; c=12,5
R10b: mu1 / mu2=0,84
R.10c: Fluido_1|parede =-0,014 N
Fluido_2|parede =0,064 N
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades mu1 / mu2
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se mu1=10^-3 Pa.s e cada placa tem uma área superficial de 4 m^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois líquidos que não se misturam (imiscíveis) fluindo entre duas placas paralelas. A placa de baixo está parada, e a de cima está se movendo a uma velocidade constante de V1 = b + c y - 9 y^2, 0 <= y <= 0,5 . Cada camada de fluido tem uma espessura de V2 = 6 + a y - 3 y^2, -0,5 <= y <= 0 . As velocidades dos fluidos são dadas por:
Queremos determinar os valores das constantes , e na parte (a). Para isso, vamos precisar usar as condições de contorno e a continuidade das velocidades e tensões na interface entre os dois fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as condições de contorno que temos:
  1. Na placa inferior ( V2(-0,5) = 0 ), o fluido 2 está em contato com a placa parada. Portanto, a velocidade do fluido 2 nessa posição deve ser zero:
V1(0) = V2(0)
  1. Na interface entre os dois fluidos ( V1(0,5) = 10 , m/s ), as velocidades dos dois fluidos devem ser iguais para garantir que não haja deslizamento entre eles:
  1. Na placa superior ( ), o fluido 1 está em contato com a placa que se move a uma velocidade constante :
Com essas três equações, podemos resolver para as constantes , e .

Passo 3

Vamos aplicar a primeira condição de contorno na placa inferior:
V2(-0,5) = 6 + a (-0,5) - 3 (-0,5)^2 = 0
Resolvendo:
6 - 0,5a - 3 times 0,25 = 0 6 - 0,5a - 0,75 = 0 5,25 - 0,5a = 0 0,5a = 5,25 a = 5,250,5 = 10,5
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda condição de contorno na interface ( V1(0) = b + c times 0 - 9 times 0^2 = b = V2(0) = 6 + a times 0 - 3 times 0^2 = 6 ):
Portanto, .

Passo 5

Por último, aplicamos a terceira condição de contorno na placa superior:
V1(0,5) = b + c times 0,5 - 9 times (0,5)^2 = 10 , m/s
Substituindo os valores conhecidos:
6 + 0,5c - 9 times 0,25 = 10 6 + 0,5c - 2,25 = 10 3,75 + 0,5c = 10 0,5c = 6,25 c = 6,250,5 = 12,5
Então, .

Resposta

As constantes determinadas são:
a = 10,5 b = 6 c = 12,5

Exercícios relacionados

A medida da viscosidade de um fluido pode ser feita através de um viscosímetro capilar que utiliza os conceitos da Equação de Hagen-Poiseuille. Assim, considere glicerina escoando a à 26,5^circ C através de um tubo horizontal com 1 ft de comprimento ( L ) e 0,05 in de raio interno ®. A queda de pressão ( De ) obtida foi de 40 psi , a uma vazão volumétrica (Q) de 0,00398 ft^3 / min. A densidade ( rho ) do fluido em tais condições é 1,261 g / cm^3. A partir dos dados anteriores, determine a viscosidade da glicerina em centipoise e em Pa.s.
mu=pi De
Um tanque com 10 m de diâmetro recebe um líquido por uma tubulação de 50 cm de diâmetro, a uma velocidade v1=1,5 m / s. Líquido é retirado continuamente do tanque, a uma vazão Q2=0,2 m^3 / s. Não há variação na massa específica do fluido.
a- O nível do tanque permanece constante, aumenta ou diminui com o tempo? Caso varie, determine a taxa de variação do nível do tanque. ( R : 1,2 mm / s )
Transformar as seguintes pressões em Pascal:
a. 15 mca abs;
Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional dado pelos seguintes componentes no plano xy.
R21: ax & =-0,2341+1,75 x ay & =0,6894+1,75 y |a| & =4,65 m / s^2
& u=0,205+0,97 x+0,851 y & v=-0,509+0,953 x-0,97 y
Calcule o campo de aceleração (expressões para as componentes da aceleração ax e ay ), e calcule a aceleração (módulo) no ponto (x, y)=(2,1,5)