Considere o campo velocidade no plano xy dado barV=A(x^2+2 x y) imath-A(2 x y+y^2) jmath, onde A=0,25 m^-1 s^-1 e as coordenadas são medidas em metros. Este é um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto ( x, y ) =(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um campo de velocidade no plano xy e nos pergunta se esse campo representa um escoamento incompressível. Além disso, precisamos calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (2,1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e aceleração material.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é igual a zero. A divergência é calculada pela soma das derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às suas respectivas coordenadas.
Matematicamente, temos:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo de velocidade fornecido:
V = A(x^2 + 2xy) imath - A(2xy + y^2) jmath
Onde $ A = 0,25 , \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} $.
Então:
A = 0,25 , m^-1 cdot s^-1
Vx = A(x^2 + 2xy)

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Para $ V_x $:
Vx
Para $ V_y $:
partial Vxpartial x = A cdot partialpartial x(x^2 + 2xy) = A(2x + 2y)

Passo 5

Agora, somamos as derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot V = A(2x + 2y) - A(2x + 2y) = 0
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula no ponto (2,1). A aceleração em um escoamento incompressível e estacionário é dada por:
a = (V cdot nabla) V
Isso significa que precisamos calcular a derivada direcional do campo de velocidade na direção de V.

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas parciais das componentes de V:
Já sabemos que:
Vx = A(x^2 + 2xy)
Vy = -A(2xy + y^2)
Então:
partial Vxpartial x = A(2x + 2y)
partial Vxpartial y = A(2x)
partial Vypartial x = -A(2y)
partial Vypartial y = -A(2x + 2y)

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula de a:
a = Vx partial Vpartial x + Vy partial Vpartial y
Isso significa:
a = Vx ( partial Vxpartial x imath + partial Vypartial x jmath ) + Vy ( partial Vxpartial y imath + partial Vypartial y jmath )

Passo 9

Vamos substituir os valores no ponto (2,1):
Primeiro, calculamos $ V_x $ e $ V_y $ em (2,1):
Vx
Vy

Passo 10

Agora, substituímos nas derivadas:
partial Vxpartial x = 0,25(2 cdot 2 + 2 cdot 1) = 0,25(4 + 2) = 0,25 cdot 6 = 1,5
partial Vypartial x = -0,25(2 cdot 1) = -0,25 cdot 2 = -0,5
partial Vxpartial y = 0,25(2 cdot 2) = 0,25 cdot 4 = 1
partial Vypartial y = -0,25(2 cdot 2 + 2 cdot 1) = -0,25(4 + 2) = -0,25 cdot 6 = -1,5

Passo 11

Finalmente, calculamos a aceleração:
Para a componente imath:
ax = Vx cdot partial Vxpartial x + Vy cdot partial Vxpartial y = 2 cdot 1,5 + (-1,25) cdot 1 = 3 - 1,25 = 1,75 , m/s^2
Para a componente jmath:
ay = Vx cdot partial Vypartial x + Vy cdot partial Vypartial y = 2 cdot (-0,5) + (-1,25) cdot (-1,5) = -1 + 1,875 = 0,875 , m/s^2

Resposta

O escoamento é incompressível e a aceleração da partícula no ponto (2,1) é a = 1,75, imath + 0,875, jmath , m/s^2.

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