Considere o campo velocidade no plano xy dado
, onde
e as coordenadas são medidas em metros. Este é um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto (
)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um campo de velocidade no plano xy e nos pergunta se esse campo representa um escoamento incompressível. Além disso, precisamos calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (2,1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e aceleração material.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é igual a zero. A divergência é calculada pela soma das derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às suas respectivas coordenadas.
Matematicamente, temos:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do campo de velocidade fornecido:
Onde $ A = 0,25 , \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} $.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Para $ V_x $:
Para $ V_y $:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas para encontrar a divergência:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.
Passo 6
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula no ponto (2,1). A aceleração em um escoamento incompressível e estacionário é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada direcional do campo de velocidade na direção de
.
Passo 7
Primeiro, calculamos as derivadas parciais das componentes de
:
Já sabemos que:
Então:
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula de
:
Isso significa:
Passo 9
Vamos substituir os valores no ponto (2,1):
Primeiro, calculamos $ V_x $ e $ V_y $ em (2,1):
Passo 10
Agora, substituímos nas derivadas:
Passo 11
Finalmente, calculamos a aceleração:
Para a componente
:
Para a componente
:
Resposta
O escoamento é incompressível e a aceleração da partícula no ponto (2,1) é
.
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B) Escoamento permanente e variado. Justifique sua resposta.
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, onde
e x e y são medidos em metros. Determine a mais simples com y da velocidade para este campo de escoamento.