Considere o campo velocidade no plano xy dado , onde e as coordenadas são medidas em metros. Este é um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto ( ) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um campo de velocidade no plano xy e nos pergunta se esse campo representa um escoamento incompressível. Além disso, precisamos calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (2,1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente e aceleração material.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é igual a zero. A divergência é calculada pela soma das derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às suas respectivas coordenadas.
Matematicamente, temos:

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo de velocidade fornecido:
Onde $ A = 0,25 , \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} $.
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Para $ V_x $:
Para $ V_y $:

Passo 5

Agora, somamos as derivadas para encontrar a divergência:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula no ponto (2,1). A aceleração em um escoamento incompressível e estacionário é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada direcional do campo de velocidade na direção de .

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas parciais das componentes de :
Já sabemos que:
Então:

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula de :
Isso significa:

Passo 9

Vamos substituir os valores no ponto (2,1):
Primeiro, calculamos $ V_x $ e $ V_y $ em (2,1):

Passo 10

Agora, substituímos nas derivadas:

Passo 11

Finalmente, calculamos a aceleração:
Para a componente :
Para a componente :

Resposta

O escoamento é incompressível e a aceleração da partícula no ponto (2,1) é .

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