A componente x da velocidade em um campo de escoamento permanente e incompressível, no plano xy, é , onde e x e y são medidos em metros. Determine a mais simples com y da velocidade para este campo de escoamento.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de dinâmica dos fluidos onde o fluxo é permanente (não muda com o tempo) e incompressível, no plano xy. A componente x da velocidade é dada por:
onde $ A = 5 , m^{2}/s $ e $ x $ e $ y $ estão em metros. O objetivo aqui é encontrar a componente y da velocidade, ou seja, $ v $, para esse campo de escoamento. Para resolver isso, vamos usar a equação de continuidade para fluxos incompressíveis, que nos ajuda a relacionar as componentes da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de continuidade para um fluxo incompressível em duas dimensões. Ela diz que a divergência do campo de velocidade deve ser zero:
Isso significa que a taxa de variação da velocidade na direção x mais a taxa de variação na direção y deve ser zero, garantindo que o fluxo seja conservado.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ v $, então vamos reorganizar a equação de continuidade para isolar $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Agora, precisamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $, onde $ u = \frac{A x}{x^{2} + y^{2}} $.

Passo 4

Vamos derivar $ u $ em relação a $ x $ usando a regra do quociente:

Passo 5

Substituindo $ \frac{\partial u}{\partial x} $ na equação de continuidade:
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a $ y $ para encontrar $ v $.

Passo 6

Vamos integrar $ \frac{\partial v}{\partial y} $ em relação a $ y $:
Onde $ C(x) $ é a constante de integração que pode depender de $ x $.

Passo 7

Para resolver a integral, podemos dividir em duas partes:
Usando integrais padrão, sabemos que:
E,

Passo 8

Substituindo as integrais de volta na expressão de $ v $:
Simplificando:
Note que os termos com $ y $ cancelam:

Passo 9

Para determinar $ C(x) $, precisamos considerar as condições de contorno ou informações adicionais do problema. Como não foram fornecidas, podemos assumir que $ C(x) = 0 $ para simplificar, o que é comum em problemas deste tipo quando buscamos a solução mais simples.

Resposta

Portanto, a componente y da velocidade é:
Substituindo $ A = 5 , m^{2}/s $:

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