A componente x da velocidade em um campo de escoamento permanente e incompressível, no plano xy, é u=A x /(x^2+y^2), onde A=5 m^2 / s e x e y são medidos em metros. Determine a mais simples com y da velocidade para este campo de escoamento.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de dinâmica dos fluidos onde o fluxo é permanente (não muda com o tempo) e incompressível, no plano xy. A componente x da velocidade é dada por:
u = A xx^2 + y^2
onde $ A = 5 , m^{2}/s $ e $ x $ e $ y $ estão em metros. O objetivo aqui é encontrar a componente y da velocidade, ou seja, $ v $, para esse campo de escoamento. Para resolver isso, vamos usar a equação de continuidade para fluxos incompressíveis, que nos ajuda a relacionar as componentes da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de continuidade para um fluxo incompressível em duas dimensões. Ela diz que a divergência do campo de velocidade deve ser zero:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Isso significa que a taxa de variação da velocidade na direção x mais a taxa de variação na direção y deve ser zero, garantindo que o fluxo seja conservado.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ v $, então vamos reorganizar a equação de continuidade para isolar $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
v
Agora, precisamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $, onde $ u = \frac{A x}{x^{2} + y^{2}} $.

Passo 4

Vamos derivar $ u $ em relação a $ x $ usando a regra do quociente:
u

Passo 5

Substituindo $ \frac{\partial u}{\partial x} $ na equação de continuidade:
partial upartial x
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a $ y $ para encontrar $ v $.

Passo 6

Vamos integrar $ \frac{\partial v}{\partial y} $ em relação a $ y $:
partial vpartial y
Onde $ C(x) $ é a constante de integração que pode depender de $ x $.

Passo 7

Para resolver a integral, podemos dividir em duas partes:
v = A x^2 integral 1(x^2 + y^2)^2 dy - A integral y^2(x^2 + y^2)^2 dy + C(x)
Usando integrais padrão, sabemos que:
integral 1(x^2 + y^2)^2 dy = y2 x^2 (x^2 + y^2)) + 12 x^3 arctan(yx)
E,
integral y^2(x^2 + y^2)^2 dy = y2 (x^2 + y^2)

Passo 8

Substituindo as integrais de volta na expressão de $ v $:
v
Simplificando:
v = A x^2 ( y2 x^2 (x^2 + y^2) + 12 x^3 arctan(yx) ) - A ( y2 (x^2 + y^2) ) + C(x)
Note que os termos com $ y $ cancelam:
v = A y2 (x^2 + y^2) + A2 x arctan(yx) - A y2 (x^2 + y^2) + C(x)

Passo 9

Para determinar $ C(x) $, precisamos considerar as condições de contorno ou informações adicionais do problema. Como não foram fornecidas, podemos assumir que $ C(x) = 0 $ para simplificar, o que é comum em problemas deste tipo quando buscamos a solução mais simples.

Resposta

Portanto, a componente y da velocidade é:
v = A2 x arctan(yx)
Substituindo $ A = 5 , m^{2}/s $:
A = 5 , m^2/s

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