Considere o campo de velocidade no plano xy dado por V(x, y)=A x^2 y imath-A x y^2 jmath+A x^2 y^2 k, em que A=0,25 m^-3 cdot s^-1 e as coordenadas são medidas em metros. Este escoamento pode ser considerado incompressível? Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y)=(2,1).
Equação da continuidade na forma diferencial: partial rho upartial x+partial rho vpartial y+partial rho wpartial z+partial rhopartial t=0
Aceleração de uma partícula: ap=u partial Vpartial x+v partial Vpartial y+w partial Vpartial z+partial Vpartial t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo de velocidade no plano xy dado por:
V(x, y) = A x^2 y, imath - A x y^2, jmath + A x^2 y^2, k
onde . Precisamos verificar se esse escoamento é incompressível e calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Para resolver isso, vamos usar a equação da continuidade para verificar a incompressibilidade e a fórmula da aceleração de uma partícula para encontrar a aceleração no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é zero, ou seja:
nabla cdot V = 0
A divergência da velocidade em coordenadas cartesianas é dada por:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z
Onde , e são as componentes de velocidade nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para a componente partial upartial x = partialpartial x (A x^2 y) = 2A x y :
partial vpartial y = partialpartial y (-A x y^2) = -2A x y
  1. Para a componente partial wpartial z = partialpartial z (A x^2 y^2) = 0 :
  1. Para a componente :
Pois não depende de .

Passo 4

Agora, somando as derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot V = 2A x y - 2A x y + 0 = 0
Como a divergência é zero, concluímos que o escoamento é incompressível.

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto ap = u partial Vpartial x + v partial Vpartial y + w partial Vpartial z + partial Vpartial t . A fórmula da aceleração é:
ap = u partial Vpartial x + v partial Vpartial y + w partial Vpartial z
Como não há dependência temporal no campo de velocidade, a derivada temporal é zero. Então, simplificamos para:

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
  1. Derivada parcial de partial Vpartial x = partialpartial x ( A x^2 y, imath - A x y^2, jmath + A x^2 y^2, k ) = 2A x y, imath - A y^2, jmath + 2A x y^2, k em relação a partial Vpartial y = partialpartial y ( A x^2 y, imath - A x y^2, jmath + A x^2 y^2, k ) = A x^2, imath - 2A x y, jmath + 2A x^2 y, k :
partial Vpartial z = 0
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
Como não depende de , essa derivada é zero:

Passo 7

Agora, substituímos ap = (4A)(2A cdot 2 cdot 1, imath - A cdot 1^2, jmath + 2A cdot 2 cdot 1^2, k) + (-2A)(A cdot 2^2, imath - 2A cdot 2 cdot 1, jmath + 2A cdot 2^2 cdot 1, k) + (4A)(0) , 4A cdot 2A cdot 2 cdot 1 + (-2A) cdot A cdot 4 = 16A^2 - 8A^2 = 8A^2 e 4A cdot (-A cdot 1) + (-2A) cdot (-2A cdot 2 cdot 1) = -4A^2 + 8A^2 = 4A^2 no ponto 4A cdot 2A cdot 2 cdot 1 + (-2A) cdot 2A cdot 4 cdot 1 = 16A^2 - 16A^2 = 0 :
Substituindo esses valores nas derivadas calculadas:
Simplificando cada componente:
  1. Termo com :
  1. Termo com :
  1. Termo com :

Resposta

A aceleração da partícula fluida no ponto ap = 8A^2, imath + 4A^2, jmath + 0, k é:
ap = 8 times (0,25)^2, imath + 4 times (0,25)^2, jmath = 0,5, imath + 0,25, jmath , m/s^2
Substituindo :
Então, a aceleração da partícula no ponto é .

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