Considere o campo de velocidade no plano xy dado por , em que as coordenadas são medidas em metros. Este escoamento pode ser considerado incompressível? Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Equação da continuidade na forma diferencial:
Aceleração de uma partícula:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo de velocidade no plano xy dado por:
V(x, y) = A x^2 y, imath - A x y^2, jmath + A x^2 y^2, k
onde . Precisamos verificar se esse escoamento é incompressível e calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Para resolver isso, vamos usar a equação da continuidade para verificar a incompressibilidade e a fórmula da aceleração de uma partícula para encontrar a aceleração no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é zero, ou seja:
nabla cdot V = 0
A divergência da velocidade em coordenadas cartesianas é dada por:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z
Onde , e são as componentes de velocidade nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Para a componente partial upartial x = partialpartial x (A x^2 y) = 2A x y :
partial vpartial y = partialpartial y (-A x y^2) = -2A x y
Para a componente partial wpartial z = partialpartial z (A x^2 y^2) = 0 :
Para a componente :
Pois não depende de .
Passo 4
Agora, somando as derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot V = 2A x y - 2A x y + 0 = 0
Como a divergência é zero, concluímos que o escoamento é incompressível.
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto ap = u partial Vpartial x + v partial Vpartial y + w partial Vpartial z + partial Vpartial t . A fórmula da aceleração é:
ap = u partial Vpartial x + v partial Vpartial y + w partial Vpartial z
Como não há dependência temporal no campo de velocidade, a derivada temporal é zero. Então, simplificamos para:
Passo 6
Vamos calcular cada termo:
Derivada parcial de partial Vpartial x = partialpartial x ( A x^2 y, imath - A x y^2, jmath + A x^2 y^2, k ) = 2A x y, imath - A y^2, jmath + 2A x y^2, k em relação a partial Vpartial y = partialpartial y ( A x^2 y, imath - A x y^2, jmath + A x^2 y^2, k ) = A x^2, imath - 2A x y, jmath + 2A x^2 y, k :