Considere um capacitor esférico formado por uma esfera de raio
e carga
, concêntrica com uma casca esférica de raio
e carga
.
Calcule o campo elétrico e o valor absoluto da diferença de potencial entre as placas desse capacitor.
Calcule o campo elétrico e o valor absoluto da diferença de potencial entre as placas desse capacitor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores esféricos! A gente precisa calcular o campo elétrico e a diferença de potencial entre as duas “placas” desse capacitor, que são duas esferas concêntricas com cargas opostas. Pra isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a definição de potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico gerado por essa configuração. Como temos uma esfera interna de raio $ a $ com carga $ +Q $ e uma casca externa de raio $ b > a $ com carga $ -Q $, vamos usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões.
Passo 3
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática $ \varepsilon_0 $:
Vamos analisar três regiões distintas: dentro da esfera interna ($ r < a
a < r < b
r > b $).
Passo 4
-
Para $ r < a $: A carga dentro dessa região é zero porque toda a carga está na superfície da esfera interna. Então, o campo elétrico $ \mathbf{E} = 0 $.
-
Para $ a < r < b $: Aqui, apenas a carga da esfera interna $ +Q $ está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss, temos:
- Para $ r > b $: A carga total dentro da superfície gaussiana é $ +Q + (-Q) = 0 $. Então, o campo elétrico $ \mathbf{E} = 0 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre as duas esferas. O potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma carga $ Q $ é dado por:
Como temos duas esferas, precisamos calcular a diferença de potencial entre $ r = a $ e $ r = b $.
Passo 6
A diferença de potencial $ \Delta V $ é:
Como a diferença de potencial absoluta é solicitada, temos:
Resposta
O campo elétrico entre as esferas é dado por:
E a diferença de potencial absoluta entre as esferas é: