A velocidade de um elétron é dada por v=vx x+vy y+vz z. Ele penetra numa região onde existe um campo magnético dado por B=Bz z.
c) Seja agora a velocidade v=(2,0 x+1,0 y+2,0 z) times 10^6 m / s, e B=0,10 z T. Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética sobre o elétron. Descreva como é a trajetória do elétron sob a ação desse campo. [0,5]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um elétron que está se movendo com uma velocidade específica em três direções: x, y e z. Além disso, existe um campo magnético aplicado na direção z. O conteúdo que vamos usar aqui é a força magnética, que é a força que uma partícula carregada sente quando se move em um campo magnético. Para resolver isso, precisamos usar a fórmula da força magnética e entender como calcular o módulo, a direção e o sentido dessa força. Também vamos ver como isso afeta a trajetória do elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da força magnética. A força magnética ( F) que atua sobre uma partícula carregada é dada por:
F = q , v times B
Onde:
  • $ q $ é a carga elétrica da partícula,
  • $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula,
  • $ \vec{B} $ é o campo magnético,
  • $ \times $ representa o produto vetorial.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos no problema:
  • A velocidade do elétron é v = (2,0 times 10^6 , x + 1,0 times 10^6 , y + 2,0 times 10^6 , z) , m/s.
  • O campo magnético é B = 0,10 , z , T.
  • A carga do elétron é $ q = -1,6 \times 10^{-19} , \mathrm{C} $ (negativa porque o elétron tem carga negativa).

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial v times B. Como B está apenas na direção z, podemos simplificar o cálculo:
v times B = x & y & z 2,0 times 10^6 & 1,0 times 10^6 & 2,0 times 10^6 0 & 0 & 0,10
Calculando o determinante:
v times B = x(1,0 times 10^6 times 0,10 - 2,0 times 10^6 times 0) - y(2,0 times 10^6 times 0,10 - 2,0 times 10^6 times 0) + z(2,0 times 10^6 times 0 - 1,0 times 10^6 times 0)
Simplificando:
v times B = (1,0 times 10^5) , x - (2,0 times 10^5) , y + 0 , z
Ou seja:
v times B = 1,0 times 10^5 , x - 2,0 times 10^5 , y

Passo 5

Agora, multiplicamos esse resultado pela carga do elétron para encontrar a força magnética:
F = q , (v times B) = (-1,6 times 10^-19 , C) times (1,0 times 10^5 , x - 2,0 times 10^5 , y)
Multiplicando:
F = -1,6 times 10^-19 times 1,0 times 10^5 , x + 1,6 times 10^-19 times 2,0 times 10^5 , y
F = -1,6 times 10^-14 , x + 3,2 times 10^-14 , y , N

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo da força magnética. Usamos a fórmula do módulo do vetor:
|F| = raizFx^2 + Fy^2 + Fz^2
Substituindo os valores:
|F| = raiz(-1,6 times 10^-14)^2 + (3,2 times 10^-14)^2 + 0^2
|F| = raiz2,56 times 10^-28 + 10,24 times 10^-28
|F| = raiz12,8 times 10^-28 = 3,6 times 10^-14 , N

Passo 7

Para determinar a direção e o sentido da força, observamos os componentes de F:
  • O componente em x é negativo ( -1,6 times 10^-14 , N), indicando que a força aponta na direção negativa de x.
  • O componente em y é positivo ( 3,2 times 10^-14 , N), indicando que a força aponta na direção positiva de y.
  • Não há componente em z.
Então, a força está direcionada no primeiro quadrante do plano xy, mas inclinado para a direção negativa de x e positiva de y.

Passo 8

Por fim, vamos descrever a trajetória do elétron sob a ação desse campo magnético. A força magnética age perpendicularmente à velocidade do elétron e ao campo magnético, fazendo com que o elétron se mova em uma trajetória circular se a velocidade for perpendicular ao campo. Porém, como a velocidade tem componentes tanto na direção do campo (z) quanto perpendicular a ele (x e y), a trajetória será uma hélice. Isso significa que o elétron vai se movimentar em espiral ao longo da direção do campo magnético.

Resposta

A força magnética sobre o elétron tem módulo de 3,6 times 10^-14 , N, direcionada no plano xy com componentes na direção negativa de x e positiva de y. Devido a essa força, o elétron segue uma trajetória em hélice ao se mover através do campo magnético.

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