Considere uma casca esférica com raio interno a e raio externo b, carregada com desidade não uniforme de carga rho=gamma / r, onde gamma é uma constante e r é a distância ao centro. Calcule o módulo do campo elétrico para (a) r, (b) a, © r>b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica com raio interno a e raio externo b, que tem uma densidade de carga que não é uniforme: rho = gammar. Nosso objetivo é calcular o módulo do campo elétrico em três regiões diferentes:
  • (a) Quando a distância r até o centro é menor que a ( r < a),
  • (b) Quando r está entre a e b ( a < r < b),
  • © Quando r é maior que b ( r > b).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada (Gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. Matematicamente:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Como a situação é esférica, vamos escolher uma superfície Gaussiana que também seja uma esfera de raio r.

Passo 3

Vamos analisar cada caso separadamente começando pelo (a) r < a.

(a) Quando r < a

Nesta região, estamos dentro da cavidade interna da casca esférica, ou seja, não há carga encerrada dentro da superfície Gaussiana. Isso porque a casca começa no raio a.
Como não há carga dentro, pela Lei de Gauss:
oint E cdot dA = 0 Rightarrow E cdot 4pi r^2 = 0 Rightarrow E = 0
Então, o campo elétrico E é zero quando r < a.

Passo 4

(b) Quando a < r < b

Agora, estamos dentro da casca esférica, mas fora da cavidade interna. Aqui, precisamos calcular a carga total Qenc que está dentro da superfície Gaussiana de raio r.
A densidade de carga é rho = gammar. Para encontrar Qenc, integramos a densidade de carga sobre o volume da casca interna ao raio r:
Qenc = integrala^r rho cdot dV = integrala^r gammar' cdot 4pi r'^2 dr'
Aqui, dV = 4pi r'^2 dr' é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Resolvendo a integral:
Qenc = 4pi gamma integrala^r r' dr' = 4pi gamma [ r'^22 ]a^r = 4pi gamma ( r^2 - a^22 )
Então, a carga encerrada é:
Qenc = 2pi gamma (r^2 - a^2)
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar E:
E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0 Rightarrow E = Qenc4pi varepsilon0 r^2 = 2pi gamma (r^2 - a^2)4pi varepsilon0 r^2 = gamma (r^2 - a^2)2 varepsilon0 r^2
Simplificando:
E = gamma (1 - a^2r^2)2 varepsilon0

Passo 5

© Quando r > b

Aqui, estamos fora da casca esférica completa. Precisamos calcular a carga total Qtotal da casca para usar na Lei de Gauss.
Usamos a mesma densidade de carga rho = gammar e integramos de a até b:
Qtotal = integrala^b gammar' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi gamma integrala^b r' dr' = 4pi gamma [ r'^22 ]a^b = 2pi gamma (b^2 - a^2)
Então, a carga total é:
Qtotal = 2pi gamma (b^2 - a^2)
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 Rightarrow E = Qtotal4pi varepsilon0 r^2 = 2pi gamma (b^2 - a^2)4pi varepsilon0 r^2 = gamma (b^2 - a^2)2 varepsilon0 r^2

Resposta

Portanto, o módulo do campo elétrico E é:
  • (a) Para r < a:
E = 0
  • (b) Para a < r < b:
E = gamma (1 - a^2r^2)2 varepsilon0
  • © Para r > b:
E = gamma (b^2 - a^2)2 varepsilon0 r^2

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