Considere uma casca esférica com raio interno e raio externo , carregada com desidade não uniforme de carga , onde é uma constante e é a distância ao centro. Calcule o módulo do campo elétrico para (a) , (b) , © .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica com raio interno e raio externo , que tem uma densidade de carga que não é uniforme: . Nosso objetivo é calcular o módulo do campo elétrico em três regiões diferentes:
  • (a) Quando a distância até o centro é menor que ( ),
  • (b) Quando está entre e ( ),
  • © Quando é maior que ( ).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada (Gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . Matematicamente:
Como a situação é esférica, vamos escolher uma superfície Gaussiana que também seja uma esfera de raio .

Passo 3

Vamos analisar cada caso separadamente começando pelo (a) .

(a) Quando

Nesta região, estamos dentro da cavidade interna da casca esférica, ou seja, não há carga encerrada dentro da superfície Gaussiana. Isso porque a casca começa no raio .
Como não há carga dentro, pela Lei de Gauss:
Então, o campo elétrico é zero quando .

Passo 4

(b) Quando

Agora, estamos dentro da casca esférica, mas fora da cavidade interna. Aqui, precisamos calcular a carga total que está dentro da superfície Gaussiana de raio .
A densidade de carga é . Para encontrar , integramos a densidade de carga sobre o volume da casca interna ao raio :
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Resolvendo a integral:
Então, a carga encerrada é:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar :
Simplificando:

Passo 5

© Quando

Aqui, estamos fora da casca esférica completa. Precisamos calcular a carga total da casca para usar na Lei de Gauss.
Usamos a mesma densidade de carga e integramos de até :
Então, a carga total é:
Aplicando a Lei de Gauss:

Resposta

Portanto, o módulo do campo elétrico é:
  • (a) Para :
  • (b) Para :
  • © Para :

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