Considere uma casca esférica com raio interno
e raio externo
, carregada com desidade não uniforme de carga
, onde
é uma constante e
é a distância ao centro. Calcule o módulo do campo elétrico para (a)
, (b)
, ©
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica com raio interno
e raio externo
, que tem uma densidade de carga que não é uniforme:
. Nosso objetivo é calcular o módulo do campo elétrico em três regiões diferentes:
- (a) Quando a distância
até o centro é menor que ( ), - (b) Quando
está entre e ( ), - © Quando
é maior que ( ).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada (Gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. Matematicamente:
Como a situação é esférica, vamos escolher uma superfície Gaussiana que também seja uma esfera de raio
.
Passo 3
Vamos analisar cada caso separadamente começando pelo (a)
.
(a) Quando
Nesta região, estamos dentro da cavidade interna da casca esférica, ou seja, não há carga encerrada dentro da superfície Gaussiana. Isso porque a casca começa no raio
.
Como não há carga dentro, pela Lei de Gauss:
Então, o campo elétrico
é zero quando
.
Passo 4
(b) Quando
Agora, estamos dentro da casca esférica, mas fora da cavidade interna. Aqui, precisamos calcular a carga total
que está dentro da superfície Gaussiana de raio
.
A densidade de carga é
. Para encontrar
, integramos a densidade de carga sobre o volume da casca interna ao raio
:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Resolvendo a integral:
Então, a carga encerrada é:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar
:
Simplificando:
Passo 5
© Quando
Aqui, estamos fora da casca esférica completa. Precisamos calcular a carga total
da casca para usar na Lei de Gauss.
Usamos a mesma densidade de carga
e integramos de
até
:
Então, a carga total é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resposta
Portanto, o módulo do campo elétrico
é:
- (a) Para
:
- (b) Para
:
- © Para
:
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Tabela 1: (a) Medições diretas das variáveis
e
fixado. (b) Medições diretas das variáveis
e
, com
fixado.
(a)
(a)
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