Considere um cilindro maciço de raio r=b no qual é gerada energia a uma taxa constante g0 W / m^3, enquanto a superfície em r=b é mantida a uma temperatura constante T2. Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura T(r), unidimensional, radial, estacionária e do fluxo de calor q(r).
Calcule a temperatura no eixo T(0) e o fluxo de calor na superfície r=b com b=1 cm, g0=2 x 108 W / m 3, k=20 w / m^circ C e T2=100^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro maciço com raio onde está sendo gerada energia de forma constante a uma taxa (em ). A superfície do cilindro, na borda , está mantida a uma temperatura constante . Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia de acordo com a distância radial e o fluxo de calor dentro do cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário e considerar a geração interna de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da condução de calor em coordenadas cilíndricas para uma situação estacionária (sem variação no tempo) e unidimensional radialmente. A equação geral é:
1r ddr ( r dTdr ) + g0k = 0
Aqui, é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos simplificar essa equação. Multiplicando ambos os lados por ddr ( r dTdr ) + g0k r = 0 :
r dTdr = -g02k r^2 + C1
Agora, integramos em relação a dTdr = -g02k r + C1r :
Dividindo por :

Passo 4

Vamos integrar novamente para encontrar T(r) = -g04k r^2 + C1 ln r + C2 :
T(r) = -g04k r^2 + C2
Porém, para evitar que a temperatura seja infinita no eixo , o termo com deve desaparecer. Isso significa que .
Então, a expressão simplificada fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição de contorno na superfície T2 = -g04k b^2 + C2 , onde C2 = T2 + g04k b^2 :
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo T(r) = T2 + g04k (b^2 - r^2) de volta na expressão de :
Essa é a distribuição de temperatura dentro do cilindro.

Passo 7

Agora, vamos calcular a temperatura no eixo T(0) = T2 + g04k b^2 :

Passo 8

Para encontrar o fluxo de calor radial q(r) = -k dTdr , usamos a Lei de Fourier:
dTdr = -g02k r
Derivando q(r) = g02 r :
Então:

Passo 9

Agora, vamos calcular o fluxo de calor na superfície q(b) = g02 b :

Resposta

A temperatura no eixo é . O fluxo de calor na superfície é .

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