Considere um cilindro maciço de raio
no qual é gerada energia a uma taxa constante
, enquanto a superfície em
é mantida a uma temperatura constante
. Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura
, unidimensional, radial, estacionária e do fluxo de calor
.
Calcule a temperatura no eixo
e o fluxo de calor na superfície
com
,
e
.
Calcule a temperatura no eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro maciço com raio
onde está sendo gerada energia de forma constante a uma taxa
(em
). A superfície do cilindro, na borda
, está mantida a uma temperatura constante
. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia de acordo com a distância radial
e o fluxo de calor
dentro do cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário e considerar a geração interna de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da condução de calor em coordenadas cilíndricas para uma situação estacionária (sem variação no tempo) e unidimensional radialmente. A equação geral é:
Aqui,
é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Vamos simplificar essa equação. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, integramos em relação a
:
Dividindo por
:
Passo 4
Vamos integrar novamente para encontrar
:
Porém, para evitar que a temperatura seja infinita no eixo
, o termo com
deve desaparecer. Isso significa que
.
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição de contorno na superfície
, onde
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão de
:
Essa é a distribuição de temperatura dentro do cilindro.
Passo 7
Agora, vamos calcular a temperatura no eixo
:
Passo 8
Para encontrar o fluxo de calor radial
, usamos a Lei de Fourier:
Derivando
:
Então:
Passo 9
Agora, vamos calcular o fluxo de calor na superfície
:
Resposta
A temperatura no eixo é
. O fluxo de calor na superfície
é
.