Considere um cilindro maciço de raio no qual é gerada energia a uma taxa constante , enquanto a superfície em é mantida a uma temperatura constante . Desenvolva a expressão da distribuição de temperatura , unidimensional, radial, estacionária e do fluxo de calor .
Calcule a temperatura no eixo e o fluxo de calor na superfície com , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro maciço com raio onde está sendo gerada energia de forma constante a uma taxa (em ). A superfície do cilindro, na borda , está mantida a uma temperatura constante . Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia de acordo com a distância radial e o fluxo de calor dentro do cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário e considerar a geração interna de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da condução de calor em coordenadas cilíndricas para uma situação estacionária (sem variação no tempo) e unidimensional radialmente. A equação geral é:
Aqui, é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos simplificar essa equação. Multiplicando ambos os lados por :
Agora, integramos em relação a :
Dividindo por :

Passo 4

Vamos integrar novamente para encontrar :
Porém, para evitar que a temperatura seja infinita no eixo , o termo com deve desaparecer. Isso significa que .
Então, a expressão simplificada fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição de contorno na superfície , onde :
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :
Essa é a distribuição de temperatura dentro do cilindro.

Passo 7

Agora, vamos calcular a temperatura no eixo :

Passo 8

Para encontrar o fluxo de calor radial , usamos a Lei de Fourier:
Derivando :
Então:

Passo 9

Agora, vamos calcular o fluxo de calor na superfície :

Resposta

A temperatura no eixo é . O fluxo de calor na superfície é .

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