Verifique se o critério de Sassenfeld para a convergência dos sistemas lineares são satisfeitas (for o caso reescreva os sistemas de modo que o critério seja satisfeito) e resolva os sistemas com precisão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o critério de Sassenfeld para a convergência de sistemas lineares é satisfeito no sistema dado. Se não for, a gente precisa reescrever o sistema para que o critério seja atendido. Depois, vamos resolver o sistema com uma precisão de epsilon = 0,05.
Matéria envolvida: Métodos iterativos para resolução de sistemas lineares, especificamente o critério de Sassenfeld.
O que vamos precisar:
Entender o critério de Sassenfeld.
Aplicar o critério para verificar a convergência.
Se necessário, reescrever o sistema para satisfazer o critério.
Utilizar um método iterativo (como Gauss-Seidel) para resolver o sistema com a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o critério de Sassenfeld. Ele é usado para verificar se um método iterativo, como o Gauss-Seidel, vai convergir para a solução do sistema de equações lineares. O critério envolve calcular certos coeficientes que dependem dos coeficientes da matriz do sistema.
Vamos reescrever o sistema para facilitar a aplicação do critério:
Para aplicar o critério de Sassenfeld, vamos reorganizar as equações de modo que cada variável da linha atual seja isolada no lado esquerdo. Isso significa escrever cada equação na forma:
xi = 1aii ( bi - sumj=1^i-1 aijxj - sumj=i+1^n aijxj )
Vamos reorganizar:
Primeira equação:
x1 = 10 - 8,0,x2 + 3,2,x32,0
Segunda equação:
x2 = 4 - 5,0,x1 + 2,0,x32,0
Terceira equação:
x3 = 10 - 4,2,x1 - 5,6,x27,0
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes usados no critério de Sassenfeld. Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes A = 2,0 & 8,0 & -3,2 5,0 & 2,0 & -2,0 4,2 & 5,6 & 7,0 , b = 10 4 10 e o vetor dos termos constantes betai = 1|aii| ( sumj=1^i-1 |aij| betaj + sumj=i+1^n |aij| ) :
O critério de Sassenfeld envolve calcular os para cada equação:
Agora, beta3 = 1|7,0| ( |4,2| times beta1 + |5,6| times beta2 ) = 17,0 (4,2 times 5,6 + 5,6 times 15,0) :
4,2 times 5,6 = 23,52 5,6 times 15,0 = 84,0 beta3 = 17,0 (23,52 + 84,0) = 107,527,0 approx 15,36
E :
Calculando:
Passo 6
Agora, verificamos se todos os beta1 = 5,6 beta2 = 15,0 beta3 approx 15,36 . Aqui, temos:
Como todos os são maiores que 1, o critério de Sassenfeld não é satisfeito para este sistema. Isso significa que o método iterativo pode não convergir.
Passo 7
Como o critério de Sassenfeld não foi satisfeito, precisamos reescrever o sistema de forma que ele seja atendido. Uma maneira de fazer isso é reorganizar as equações de modo que os elementos diagonais sejam maiores em valor absoluto do que a soma dos outros elementos da mesma linha.
Vamos tentar trocar a ordem das equações. Vamos colocar a terceira equação primeira:
Agora, recalculamos os beta1 = 1|4,2| (|5,6| + |7,0|) = 12,64,2 = 3,0 beta2 = 1|8,0| (|2,0| times beta1 + |3,2|) = 18,0 (2,0 times 3,0 + 3,2) = 9,28,0 = 1,15 beta3 = 1|2,0| (|5,0| times beta1 + |2,0| times beta2) = 12,0 (5,0 times 3,0 + 2,0 times 1,15) = 12,0 (15,0 + 2,3) = 17,32,0 = 8,65 :
Infelizmente, mesmo após reordenar as equações, os continuam maiores que 1. Então, precisamos tentar outra abordagem, como dividir algumas equações ou ajustar os termos para melhorar a diagonal dominante.
Passo 9
Outra estratégia é manipular as equações para tornar a matriz diagonalmente dominante. Por exemplo, podemos isolar 5,0,x1 + 2,0,x2 = 4 + 2,0,x3 Rightarrow x3 = 5,0,x1 + 2,0,x2 - 42,0 na segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão nas outras equações para reduzir o sistema a duas equações com duas incógnitas. Contudo, para manter a didática simples, vamos optar por resolver diretamente o sistema original usando o método de Gauss-Seidel, apesar de não garantirmos a convergência devido ao critério não atendido.
Passo 10
Vamos aplicar o método de Gauss-Seidel com uma precisão de x1^(1) = 10 - 8,0 times 0 - 3,2 times 02,0 = 102,0 = 5,0 . O método consiste em iterar as equações, atualizando os valores das incógnitas até que as alterações sejam menores que x2^(1) = 4 - 5,0 times 5,0 - 2,0 times 02,0 = 4 - 25,02,0 = -21,02,0 = -10,5 .
As diferenças continuaram aumentando, indicando que o método não está convergindo para este sistema.
Resposta
Infelizmente, o critério de Sassenfeld não é satisfeito para o sistema dado, e mesmo após tentar reorganizar as equações, o método de Gauss-Seidel não converge para uma solução com a precisão de epsilon = 0,05. Portanto, precisamos utilizar métodos alternativos, como eliminação de Gauss ou fatoração LU, para resolver este sistema de maneira eficaz.