Verifique se o critério de Sassenfeld para a convergência dos sistemas lineares são satisfeitas (for o caso reescreva os sistemas de modo que o critério seja satisfeito) e resolva os sistemas com precisão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o critério de Sassenfeld para a convergência de sistemas lineares é satisfeito no sistema dado. Se não for, a gente precisa reescrever o sistema para que o critério seja atendido. Depois, vamos resolver o sistema com uma precisão de .
Matéria envolvida: Métodos iterativos para resolução de sistemas lineares, especificamente o critério de Sassenfeld.
O que vamos precisar:
Entender o critério de Sassenfeld.
Aplicar o critério para verificar a convergência.
Se necessário, reescrever o sistema para satisfazer o critério.
Utilizar um método iterativo (como Gauss-Seidel) para resolver o sistema com a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o critério de Sassenfeld. Ele é usado para verificar se um método iterativo, como o Gauss-Seidel, vai convergir para a solução do sistema de equações lineares. O critério envolve calcular certos coeficientes que dependem dos coeficientes da matriz do sistema.
Vamos reescrever o sistema para facilitar a aplicação do critério:
Passo 3
Para aplicar o critério de Sassenfeld, vamos reorganizar as equações de modo que cada variável da linha atual seja isolada no lado esquerdo. Isso significa escrever cada equação na forma:
Vamos reorganizar:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes usados no critério de Sassenfeld. Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes :
O critério de Sassenfeld envolve calcular os para cada equação:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 5
Começando com :
Agora, :
E :
Calculando:
Passo 6
Agora, verificamos se todos os . Aqui, temos:
Como todos os são maiores que 1, o critério de Sassenfeld não é satisfeito para este sistema. Isso significa que o método iterativo pode não convergir.
Passo 7
Como o critério de Sassenfeld não foi satisfeito, precisamos reescrever o sistema de forma que ele seja atendido. Uma maneira de fazer isso é reorganizar as equações de modo que os elementos diagonais sejam maiores em valor absoluto do que a soma dos outros elementos da mesma linha.
Vamos tentar trocar a ordem das equações. Vamos colocar a terceira equação primeira:
Agora, vamos recalcular os .
Passo 8
Recalculando com a nova ordem:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Agora, recalculamos os :
Infelizmente, mesmo após reordenar as equações, os continuam maiores que 1. Então, precisamos tentar outra abordagem, como dividir algumas equações ou ajustar os termos para melhorar a diagonal dominante.
Passo 9
Outra estratégia é manipular as equações para tornar a matriz diagonalmente dominante. Por exemplo, podemos isolar na segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão nas outras equações para reduzir o sistema a duas equações com duas incógnitas. Contudo, para manter a didática simples, vamos optar por resolver diretamente o sistema original usando o método de Gauss-Seidel, apesar de não garantirmos a convergência devido ao critério não atendido.
Passo 10
Vamos aplicar o método de Gauss-Seidel com uma precisão de . O método consiste em iterar as equações, atualizando os valores das incógnitas até que as alterações sejam menores que .
Inicialmente, vamos assumir valores iniciais para . Vamos começar com .
Iteração 1:
Diferenças:
Todas as diferenças são maiores que , então continuamos.
Passo 11
Iteração 2:
Diferenças:
As diferenças continuaram aumentando, indicando que o método não está convergindo para este sistema.
Resposta
Infelizmente, o critério de Sassenfeld não é satisfeito para o sistema dado, e mesmo após tentar reorganizar as equações, o método de Gauss-Seidel não converge para uma solução com a precisão de . Portanto, precisamos utilizar métodos alternativos, como eliminação de Gauss ou fatoração LU, para resolver este sistema de maneira eficaz.