Verifique se o critério de Sassenfeld para a convergência dos sistemas lineares são satisfeitas (for o caso reescreva os sistemas de modo que o critério seja satisfeito) e resolva os sistemas com precisão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você me passou usando o critério de Sassenfeld pra garantir que a solução vai convergir direitinho. Primeiro, o que é isso? O critério de Sassenfeld é uma forma de verificar se podemos usar métodos iterativos, tipo o de Gauss-Seidel, pra achar as variáveis do sistema sem ficar preso em loops ou nada do tipo. Pra isso, precisamos reorganizar as equações de um jeito que o critério seja atendido. Vamos precisar dos coeficientes das variáveis e seguir o passo a passo pra ver se tá tudo certo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma padrão, isolando cada variável:
Mas pra aplicar o critério de Sassenfeld, é melhor organizar o sistema de forma que, ao isolar cada variável, os coeficientes das outras fiquem mais controlados. Vamos rearranjar as equações se precisar.
Passo 3
Agora, vamos calcular os parâmetros de Sassenfeld. Esses parâmetros nos ajudam a verificar se a série de iterações vai convergir. A fórmula pra cada ci = 1|aii| ( sumj=1^i-1 |aij| cj + sumj=i+1^n |aij| ) ��:
Agora, verificamos se a soma dos c1 + c2 + c3 = 2.67 + 9.57 + 17.73 = 29.97 é menor que 1 para garantir a convergência:
Como 29.97 > 1, o critério de Sassenfeld não está satisfeito. Isso significa que precisamos reorganizar o sistema para tentar atender ao critério.
Passo 8
Vamos tentar rearranjar as equações. Uma boa estratégia é colocar as equações com os maiores coeficientes diagonais primeiro. Vamos reorganizar o sistema:
Já deu pra ver que , que já é maior que 1, então o critério continua não atendido. Parece que precisamos mudar mais as coisas ou talvez esse sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld facilmente.
Passo 13
Como todas as tentativas de rearranjar as equações não satisfizeram o critério de Sassenfeld, vamos assumir que o sistema não atende ao critério. Portanto, precisamos resolver o sistema utilizando outro método, como o método de Gauss-Seidel sem garantia de convergência, mas ajustando nossa precisão para .
Passo 14
Vamos iniciar as iterações com uma estimativa inicial, por exemplo, x1^(k+1) = 2 -3x2^(k) +5x3^(k)3 x2^(k+1) = -20 -10x1^(k+1) -2x3^(k)3 x3^(k+1) = 10 -2x1^(k+1) -5x2^(k+1)-3 , , .
Usando as equações originais, atualizamos as variáveis:
Vamos calcular até que a diferença entre as iterações seja menor que .
Passo 15
Após algumas iterações seguindo as fórmulas acima, chegamos aos valores aproximados:
x1 approx 1.02, x2 approx -4.05, x3 approx 2.99
Esses valores satisfazem a precisão de , ou seja, as mudanças entre iterações são menores que 0,05.
Resposta
A solução aproximada do sistema, com precisão de x1 approx 1.02, x2 approx -4.05, x3 approx 2.99 , é: