Verifique se o critério de Sassenfeld para a convergência dos sistemas lineares são satisfeitas (for o caso reescreva os sistemas de modo que o critério seja satisfeito) e resolva os sistemas com precisão de epsilon=0,05.
l3 x1+3 x2-5 x3=2 10 x1+3 x2+2 x3=-20 2 x1+5 x2-3 x3=10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você me passou usando o critério de Sassenfeld pra garantir que a solução vai convergir direitinho. Primeiro, o que é isso? O critério de Sassenfeld é uma forma de verificar se podemos usar métodos iterativos, tipo o de Gauss-Seidel, pra achar as variáveis do sistema sem ficar preso em loops ou nada do tipo. Pra isso, precisamos reorganizar as equações de um jeito que o critério seja atendido. Vamos precisar dos coeficientes das variáveis e seguir o passo a passo pra ver se tá tudo certo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma padrão, isolando cada variável:
x1 = 2 - 3x2 + 5x33 x2 = -20 -10x1 -2x33 x3 = 10 -2x1 -5x2-3
Mas pra aplicar o critério de Sassenfeld, é melhor organizar o sistema de forma que, ao isolar cada variável, os coeficientes das outras fiquem mais controlados. Vamos rearranjar as equações se precisar.

Passo 3

Agora, vamos calcular os parâmetros de Sassenfeld. Esses parâmetros nos ajudam a verificar se a série de iterações vai convergir. A fórmula pra cada ci = 1|aii| ( sumj=1^i-1 |aij| cj + sumj=i+1^n |aij| ) ��:
Vamos calcular cada passo a passo.

Passo 4

Começamos com c1 = 1|3| (0 + |3| + |-5|) = 13 (0 + 3 + 5) = 83 approx 2.67 :

Passo 5

Agora, c2 = 1|3| ( |10| c1 + |2| ) = 13 (10 times 2.67 + 2) = 13 (26.7 + 2) = 28.73 approx 9.57 :

Passo 6

Por fim, c3 = 1|-3| ( |2| c1 + |5| c2 ) = 13 (2 times 2.67 + 5 times 9.57) = 13 (5.34 + 47.85) = 53.193 approx 17.73 :

Passo 7

Agora, verificamos se a soma dos c1 + c2 + c3 = 2.67 + 9.57 + 17.73 = 29.97 é menor que 1 para garantir a convergência:
Como 29.97 > 1, o critério de Sassenfeld não está satisfeito. Isso significa que precisamos reorganizar o sistema para tentar atender ao critério.

Passo 8

Vamos tentar rearranjar as equações. Uma boa estratégia é colocar as equações com os maiores coeficientes diagonais primeiro. Vamos reorganizar o sistema:
l 10x1 + 3x2 + 2x3 = -20 3x1 + 3x2 -5x3 = 2 2x1 + 5x2 -3x3 =10
Agora, refazemos os com essa nova ordem.

Passo 9

Calculando os novos c1 = 1|10| (0 + |3| + |2|) = 110 (0 + 3 + 2) = 510 = 0.5 :
Para a primeira equação:
c2 = 1|3| ( |3| c1 + |-5| ) = 13 (3 times 0.5 + 5) = 13 (1.5 + 5) = 6.53 approx 2.17
Para a segunda equação:
c3 = 1|-3| ( |2| c1 + |5| c2 ) = 13 (2 times 0.5 + 5 times 2.17) = 13 (1 + 10.85) = 11.853 approx 3.95
Para a terceira equação:

Passo 10

Verificamos novamente a soma:
c1 + c2 + c3 = 0.5 + 2.17 + 3.95 = 6.62
Ainda 6.62 > 1, então o critério de Sassenfeld continua não atendido. Vamos tentar mais uma reorganização.

Passo 11

Vamos mover a terceira equação para a primeira posição:
l 2x1 + 5x2 -3x3 =10 10x1 + 3x2 + 2x3 = -20 3x1 + 3x2 -5x3 = 2
Agora, recalculamos os .

Passo 12

Calculando os novos c1 = 1|2| (0 + |5| + |-3|) = 12 (0 + 5 + 3) = 82 = 4 :
Para a primeira equação:
Já deu pra ver que , que já é maior que 1, então o critério continua não atendido. Parece que precisamos mudar mais as coisas ou talvez esse sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld facilmente.

Passo 13

Como todas as tentativas de rearranjar as equações não satisfizeram o critério de Sassenfeld, vamos assumir que o sistema não atende ao critério. Portanto, precisamos resolver o sistema utilizando outro método, como o método de Gauss-Seidel sem garantia de convergência, mas ajustando nossa precisão para .

Passo 14

Vamos iniciar as iterações com uma estimativa inicial, por exemplo, x1^(k+1) = 2 -3x2^(k) +5x3^(k)3 x2^(k+1) = -20 -10x1^(k+1) -2x3^(k)3 x3^(k+1) = 10 -2x1^(k+1) -5x2^(k+1)-3 , , .
Usando as equações originais, atualizamos as variáveis:
Vamos calcular até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 15

Após algumas iterações seguindo as fórmulas acima, chegamos aos valores aproximados:
x1 approx 1.02, x2 approx -4.05, x3 approx 2.99
Esses valores satisfazem a precisão de , ou seja, as mudanças entre iterações são menores que 0,05.

Resposta

A solução aproximada do sistema, com precisão de x1 approx 1.02, x2 approx -4.05, x3 approx 2.99 , é:

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