Verifique se o critério de Sassenfeld para a convergência dos sistemas lineares são satisfeitas (for o caso reescreva os sistemas de modo que o critério seja satisfeito) e resolva os sistemas com precisão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você me passou usando o critério de Sassenfeld pra garantir que a solução vai convergir direitinho. Primeiro, o que é isso? O critério de Sassenfeld é uma forma de verificar se podemos usar métodos iterativos, tipo o de Gauss-Seidel, pra achar as variáveis do sistema sem ficar preso em loops ou nada do tipo. Pra isso, precisamos reorganizar as equações de um jeito que o critério seja atendido. Vamos precisar dos coeficientes das variáveis e seguir o passo a passo pra ver se tá tudo certo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma padrão, isolando cada variável:
Mas pra aplicar o critério de Sassenfeld, é melhor organizar o sistema de forma que, ao isolar cada variável, os coeficientes das outras fiquem mais controlados. Vamos rearranjar as equações se precisar.
Passo 3
Agora, vamos calcular os parâmetros de Sassenfeld. Esses parâmetros nos ajudam a verificar se a série de iterações vai convergir. A fórmula pra cada ��:
Vamos calcular cada passo a passo.
Passo 4
Começamos com :
Passo 5
Agora, :
Passo 6
Por fim, :
Passo 7
Agora, verificamos se a soma dos é menor que 1 para garantir a convergência:
Como 29.97 > 1, o critério de Sassenfeld não está satisfeito. Isso significa que precisamos reorganizar o sistema para tentar atender ao critério.
Passo 8
Vamos tentar rearranjar as equações. Uma boa estratégia é colocar as equações com os maiores coeficientes diagonais primeiro. Vamos reorganizar o sistema:
Agora, refazemos os com essa nova ordem.
Passo 9
Calculando os novos :
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Passo 10
Verificamos novamente a soma:
Ainda 6.62 > 1, então o critério de Sassenfeld continua não atendido. Vamos tentar mais uma reorganização.
Passo 11
Vamos mover a terceira equação para a primeira posição:
Agora, recalculamos os .
Passo 12
Calculando os novos :
Para a primeira equação:
Já deu pra ver que , que já é maior que 1, então o critério continua não atendido. Parece que precisamos mudar mais as coisas ou talvez esse sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld facilmente.
Passo 13
Como todas as tentativas de rearranjar as equações não satisfizeram o critério de Sassenfeld, vamos assumir que o sistema não atende ao critério. Portanto, precisamos resolver o sistema utilizando outro método, como o método de Gauss-Seidel sem garantia de convergência, mas ajustando nossa precisão para .
Passo 14
Vamos iniciar as iterações com uma estimativa inicial, por exemplo, , , .
Usando as equações originais, atualizamos as variáveis:
Vamos calcular até que a diferença entre as iterações seja menor que .
Passo 15
Após algumas iterações seguindo as fórmulas acima, chegamos aos valores aproximados:
Esses valores satisfazem a precisão de , ou seja, as mudanças entre iterações são menores que 0,05.
Resposta
A solução aproximada do sistema, com precisão de , é: