Considere um cilindro vertical de raio R=4 m girando em torno de seu eixo. Uma pessoa no seu interior está encostada na parede interna. O coeficiente de atrito entre sua roupa e a parede do cilindro é 0,5. O cilindro começa a girar com velocidade angular omega. Quando essa velocidade atinge determinado valor, o piso horizontal do cilindro é retirado e a pessoa não escorrega verticalmente. Esse aparelho existe em parques de diversões e é conhecido por rotor. Adote g=10 m / s^2. Determine o menor valor da velocidade angular omega para ocorrer o fenômeno descrito.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos apresenta e o que precisamos resolver. Temos um cilindro vertical com raio que está girando em torno do seu eixo com uma velocidade angular . Dentro desse cilindro, uma pessoa está encostada na parede interna. O coeficiente de atrito entre a roupa da pessoa e a parede é . Quando a velocidade angular atinge um determinado valor, o piso é retirado e a pessoa não escorrega para baixo. Nosso objetivo é encontrar o menor valor de que permite que isso aconteça. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de força centrífuga, atrito e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. Quando a pessoa está dentro do cilindro girando, ela experimenta uma força centrífuga que a empurra para a parede externa. Essa força é dada por:
Fc = m omega^2 R
onde:
  • é a massa da pessoa,
  • é a velocidade angular,
  • é o raio do cilindro.
Essa força centrífuga faz com que a pessoa pressione contra a parede, e o atrito entre a roupa e a parede gera uma força que pode equilibrar o peso da pessoa, impedindo que ela deslize para baixo.

Passo 3

A força de atrito Fa = mu Fc = mu m omega^2 R que atua na direção vertical é dada por:
mu m omega^2 R >= mg
Para que a pessoa não escorregue, essa força de atrito deve ser igual ou maior que o peso da pessoa mu omega^2 R >= g :
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, queremos encontrar o menor valor de omega^2 >= gmu R que satisfaz essa desigualdade. Vamos resolver para omega >= raizgmu R :

Passo 5

Substituindo os valores fornecidos:
g = 10 , m/s^2, mu = 0,5, R = 4 , m
omega >= raiz100,5 times 4 = raiz102 = raiz5 approx 2,236 , rad/s

Resposta

O menor valor da velocidade angular necessário para que a pessoa não escorregue verticalmente é aproximadamente .

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