Um veículo de 1.000 kg percorre com velocidade de 90 uma curva de raio m. A estrada é sobrelevada, isto é, sua margem externa é mais elevada em relação à margem interna. Adote . Determine a tangente do ângulo de sobrelevação da pista para que a segurança do veículo na curva não dependa do atrito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um carro de 1.000 kg que está fazendo uma curva de raio 100 metros a uma velocidade de 90 km/h. A estrada está inclinada, ou seja, a parte de fora está mais alta que a de dentro. A gente quer descobrir a tangente do ângulo dessa inclinação da estrada para que o carro faça a curva com segurança, sem depender da força de atrito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças envolvidas em uma curva inclinada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade do carro de quilômetros por hora para metros por segundo, porque as unidades padrão no SI são mais fáceis de trabalhar. Sabemos que:
Então,

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para um carro fazer uma curva com segurança sem depender do atrito, a força centrípeta necessária para manter o carro na curva deve ser fornecida apenas pela componente horizontal da força normal da estrada inclinada. A força centrípeta ( ) é dada por:
Onde:
  • é a massa do carro (1.000 kg)
  • é a velocidade (25 m/s)
  • é o raio da curva (100 m)

Passo 4

A estrada está inclinada com um ângulo , então a força normal ( ) que a estrada exerce no carro pode ser decomposta em duas componentes:
  • na direção vertical, que equilibra o peso do carro.
  • na direção horizontal, que fornece a força centrípeta.
Como a segurança não depende do atrito, toda a força centrípeta vem de . Então, podemos escrever:
E para a direção vertical:

Passo 5

Dividindo as duas equações para eliminar :
Simplificando:

Passo 6

Agora é só substituir os valores na equação acima:

Resposta

A tangente do ângulo de sobrelevação da pista é .

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