Um veículo de 1.000 kg percorre com velocidade de 90
uma curva de raio
m. A estrada é sobrelevada, isto é, sua margem externa é mais elevada em relação à margem interna. Adote
. Determine a tangente do ângulo de sobrelevação da pista para que a segurança do veículo na curva não dependa do atrito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um carro de 1.000 kg que está fazendo uma curva de raio 100 metros a uma velocidade de 90 km/h. A estrada está inclinada, ou seja, a parte de fora está mais alta que a de dentro. A gente quer descobrir a tangente do ângulo dessa inclinação da estrada para que o carro faça a curva com segurança, sem depender da força de atrito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças envolvidas em uma curva inclinada.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade do carro de quilômetros por hora para metros por segundo, porque as unidades padrão no SI são mais fáceis de trabalhar. Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para um carro fazer uma curva com segurança sem depender do atrito, a força centrípeta necessária para manter o carro na curva deve ser fornecida apenas pela componente horizontal da força normal da estrada inclinada. A força centrípeta (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa do carro (1.000 kg) -
é a velocidade (25 m/s) -
é o raio da curva (100 m)
Passo 4
A estrada está inclinada com um ângulo
, então a força normal (
) que a estrada exerce no carro pode ser decomposta em duas componentes:
-
na direção vertical, que equilibra o peso do carro. -
na direção horizontal, que fornece a força centrípeta.
Como a segurança não depende do atrito, toda a força centrípeta vem de
. Então, podemos escrever:
E para a direção vertical:
Passo 5
Dividindo as duas equações para eliminar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora é só substituir os valores na equação acima:
Resposta
A tangente do ângulo de sobrelevação da pista é
.