Um veículo de 1.000 kg percorre com velocidade de 90 km / h uma curva de raio R=100 m. A estrada é sobrelevada, isto é, sua margem externa é mais elevada em relação à margem interna. Adote g=10 m / s^2. Determine a tangente do ângulo de sobrelevação da pista para que a segurança do veículo na curva não dependa do atrito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um carro de 1.000 kg que está fazendo uma curva de raio 100 metros a uma velocidade de 90 km/h. A estrada está inclinada, ou seja, a parte de fora está mais alta que a de dentro. A gente quer descobrir a tangente do ângulo dessa inclinação da estrada para que o carro faça a curva com segurança, sem depender da força de atrito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças envolvidas em uma curva inclinada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade do carro de quilômetros por hora para metros por segundo, porque as unidades padrão no SI são mais fáceis de trabalhar. Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s approx 0,27778 , m/s
Então,
90 , km/h = 90 times 0,27778 , m/s approx 25 , m/s

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para um carro fazer uma curva com segurança sem depender do atrito, a força centrípeta necessária para manter o carro na curva deve ser fornecida apenas pela componente horizontal da força normal da estrada inclinada. A força centrípeta ( Fc = m v^2R ) é dada por:
Onde:
  • é a massa do carro (1.000 kg)
  • é a velocidade (25 m/s)
  • é o raio da curva (100 m)

Passo 4

A estrada está inclinada com um ângulo N sin(theta) = m v^2R , então a força normal ( N cos(theta) = m g ) que a estrada exerce no carro pode ser decomposta em duas componentes:
  • na direção vertical, que equilibra o peso do carro.
  • na direção horizontal, que fornece a força centrípeta.
Como a segurança não depende do atrito, toda a força centrípeta vem de . Então, podemos escrever:
E para a direção vertical:

Passo 5

Dividindo as duas equações para eliminar N sin(theta)N cos(theta) = m v^2Rm g :
tan(theta) = v^2g R
Simplificando:

Passo 6

Agora é só substituir os valores na equação acima:
tan(theta) = 25^210 times 100 = 6251000 = 0,625

Resposta

A tangente do ângulo de sobrelevação da pista é .

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