Considere um circuito composto de um capacitor de capacitância
e um resistor com resistência
conectados em serie. No estado inicial o capacitor esta cacarregado. Na placa
dele encontra se carga
e na placa
carga
. No tempo
conectamos a bateria com força eletromotriz
a este capacitor de forma que terminal - da bateria esta conectado a placa com carga positiva e terminal + a placa com carga negativa. Seja
o valor da carga elétrica que flui no circuito atravessando o resistor (carga transferida de placa
para placa
). Determine a formula para
e calcule tempo
que leva para descarregar o capacitor (carga transferida na placa
tem valor
).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos um circuito com um capacitor de capacitância
e um resistor de resistência
ligados em série. Inicialmente, o capacitor está sem carga, mas as placas têm cargas
e
. No tempo
, conectamos uma bateria com força eletromotriz
de forma que o terminal negativo está ligado à placa positiva e o terminal positivo à placa negativa. Queremos encontrar a expressão para a carga
que passa pelo resistor e o tempo
necessário para descarregar o capacitor completamente, ou seja, quando
.
Vamos precisar dos conceitos de corrente elétrica, capacitância, e a equação diferencial de circuitos RC.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RC série, a corrente
e a carga
estão relacionadas pela fórmula:
Aqui,
é a corrente que está fluindo no circuito em função do tempo.
Passo 3
Agora, aplicamos a Lei de Kirchhoff das Tensões, que diz que a soma das quedas de tensão em um circuito fechado é igual à força eletromotriz da bateria. No nosso caso, temos a queda de tensão no resistor e no capacitor:
Sabemos que a tensão no resistor
é dada por
, e a tensão no capacitor
é
.
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação de Kirchhoff, temos:
Essa é a nossa equação diferencial que vamos resolver para encontrar
.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para isolarmos os termos de
:
Podemos dividir toda a equação por
para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Para determinar a constante de integração
, usamos a condição inicial. No tempo
, a carga no capacitor é zero, então
:
Passo 9
Substituindo
na expressão para
:
Essa é a fórmula que descreve a carga que flui pelo resistor em função do tempo.
Passo 10
Agora, queremos encontrar o tempo
que leva para descarregar o capacitor, ou seja, quando
. Vamos substituir na equação de
:
Vamos isolar o termo exponencial:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A carga que flui pelo resistor em função do tempo é:
O tempo necessário para descarregar o capacitor até
é:
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