Considere um circuito composto de um capacitor de capacitância C e um resistor com resistência R conectados em serie. No estado inicial o capacitor esta cacarregado. Na placa a dele encontra se carga Q>0 e na placa b carga -Q. No tempo t=0 conectamos a bateria com força eletromotriz E a este capacitor de forma que terminal - da bateria esta conectado a placa com carga positiva e terminal + a placa com carga negativa. Seja q(t) o valor da carga elétrica que flui no circuito atravessando o resistor (carga transferida de placa a para placa b ). Determine a formula para q(t) e calcule tempo t1 que leva para descarregar o capacitor (carga transferida na placa b tem valor q(t1)=Q ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos um circuito com um capacitor de capacitância e um resistor de resistência ligados em série. Inicialmente, o capacitor está sem carga, mas as placas têm cargas e . No tempo , conectamos uma bateria com força eletromotriz de forma que o terminal negativo está ligado à placa positiva e o terminal positivo à placa negativa. Queremos encontrar a expressão para a carga que passa pelo resistor e o tempo necessário para descarregar o capacitor completamente, ou seja, quando .
Vamos precisar dos conceitos de corrente elétrica, capacitância, e a equação diferencial de circuitos RC.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RC série, a corrente I(t) = dq(t)dt e a carga estão relacionadas pela fórmula:
Aqui, é a corrente que está fluindo no circuito em função do tempo.

Passo 3

Agora, aplicamos a Lei de Kirchhoff das Tensões, que diz que a soma das quedas de tensão em um circuito fechado é igual à força eletromotriz da bateria. No nosso caso, temos a queda de tensão no resistor e no capacitor:
E = VR(t) + VC(t)
Sabemos que a tensão no resistor é dada por , e a tensão no capacitor é .

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação de Kirchhoff, temos:
E = R cdot dq(t)dt + q(t)C
Essa é a nossa equação diferencial que vamos resolver para encontrar .

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para isolarmos os termos de R cdot dq(t)dt + q(t)C = E :
dq(t)dt + 1RC q(t) = ER
Podemos dividir toda a equação por para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

O fator integrante mu(t) = e^integral 1RC dt = e^tRC é dado por:
e^tRC dq(t)dt + 1RC e^tRC q(t) = ER e^tRC
Multiplicamos toda a equação diferencial por ddt ( e^tRC q(t) ) = ER e^tRC :
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a e^tRC q(t) = ER integral e^tRC dt + C1 :
e^tRC q(t) = E C e^tRC + C1
A integral de é , então:

Passo 8

Agora, resolvemos para q(t) = E C + C1 e^-tRC :
0 = E C + C1 e^0 implies C1 = -E C
Para determinar a constante de integração , usamos a condição inicial. No tempo , a carga no capacitor é zero, então :

Passo 9

Substituindo q(t) = E C (1 - e^-tRC ) na expressão para :
Essa é a fórmula que descreve a carga que flui pelo resistor em função do tempo.

Passo 10

Agora, queremos encontrar o tempo Q = E C (1 - e^-t1RC ) que leva para descarregar o capacitor, ou seja, quando QE C = 1 - e^-t1RC implies e^-t1RC = 1 - QE C . Vamos substituir na equação de -t1RC = ln (1 - QE C ) :
t1 = -RC ln (1 - QE C )
Vamos isolar o termo exponencial:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A carga que flui pelo resistor em função do tempo é:
q(t) = E C (1 - e^-tRC )
O tempo necessário para descarregar o capacitor até t1 = -RC ln (1 - QE C ) é:

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