Campo eletrostático possui potencial
V(x, y)=V0 ln raizx^2+y^2+ const
Determine a forma deste campo em coordenadas cartesianas e depois transforma ele a coordenadas cilíndricas. Qual configuração de cargas gera deste tipo de campo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o potencial eletrostático . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico correspondente em coordenadas cartesianas, depois transformar para coordenadas cilíndricas e descobrir qual configuração de cargas gera esse campo.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial pela relação . Vamos usar cálculo vetorial para encontrar as componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y ) em coordenadas cartesianas. O gradiente em 2D é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando V(x, y) = V0 ln raizx^2+y^2 + const = V02 ln (x^2 + y^2) + const :
partial Vpartial x = V02 cdot 2xx^2 + y^2 = V0 xx^2 + y^2
Então,

Passo 4

Calculando partial Vpartial y = V02 cdot 2yx^2 + y^2 = V0 yx^2 + y^2 :
De forma similar,

Passo 5

Agora, montamos o vetor gradiente:
nabla V = ( V0 xx^2 + y^2, V0 yx^2 + y^2 )
E, como E = ( -V0 xx^2 + y^2, -V0 yx^2 + y^2 ) , temos:

Passo 6

Então, o campo elétrico em coordenadas cartesianas é:
E(x, y) = -V0x^2 + y^2 (x i + y j)
Isso mostra que o campo é radial e inversamente proporcional à distância ao quadrado, similar ao campo de uma carga pontual.

Passo 7

Agora, vamos transformar isso para coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas x = r cos theta y = r sin theta , temos:
E = Er r + Etheta theta + Ez z
E o vetor pode ser expresso como:

Passo 8

Observando nosso campo em cartesianas, vemos que ele está apenas na direção radial (sem componentes angulares ou na direção z). Então, em coordenadas cilíndricas:
E(r) = -V0r^2 r
Isso simplifica bastante a expressão!

Passo 9

Por fim, para descobrir qual configuração de cargas gera esse campo, lembramos da Lei de Gauss. Um campo que varia como sugere uma distribuição de carga pontual ou uma linha infinita de carga.
No entanto, como estamos em 2D (apenas x e y), a configuração que mais se aproxima é uma linha infinita de carga ao longo do eixo z. Essa distribuição gera um campo radial no plano xy que decai proporcionalmente a , mas devido à natureza logarítmica do potencial, isso confirma que estamos tratando de uma linha infinita de carga.

Resposta

O campo elétrico é dado por em coordenadas cartesianas e por em coordenadas cilíndricas. Esse campo é gerado por uma configuração de uma linha infinita de carga ao longo do eixo z.

Exercícios relacionados

Considere um circuito composto de três resistores com resistencias iguais Rk=R, k=1,2,3 e duas baterias com forcas eletromotrizes E1 e E2. Determine intensidades das correntes que fluem atraves de cada destes resistores.
Um capacitor esférico possui placas esféricas com raios r1=R e r2=2 R. O expaço entre as placas epsilon preenchido por tres tipos de dielétricos com permissividades varepsilon1, varepsilon2 e varepsilon3. Os dielétricos ocupam regióes entre as placas do capacitor R <= r <= 2 R e 0 <= phi <= 2 pi e diferenciam apenas pelo angulo theta :
  • dielétrico com varepsilon1: 0 <= theta <= pi4
  • dielétrico com varepsilon2: pi4 <= theta <= 2 pi3
  • dielétrico com epsilon3: 2 pi3 <= theta <= pi
    Caclule capacitancia deste capacitor C.
Considere um circuito composto de um capacitor de capacitância C e um resistor com resistência R conectados em serie. No estado inicial o capacitor esta cacarregado. Na placa a dele encontra se carga Q>0 e na placa b carga -Q. No tempo t=0 conectamos a bateria com força eletromotriz E a este capacitor de forma que terminal - da bateria esta conectado a placa com carga positiva e terminal + a placa com carga negativa. Seja q(t) o valor da carga elétrica que flui no circuito atravessando o resistor (carga transferida de placa a para placa b ). Determine a formula para q(t) e calcule tempo t1 que leva para descarregar o capacitor (carga transferida na placa b tem valor q(t1)=Q ).
Um topógrafo está usando uma bússola a 6 m abaixo de uma linha de transmissão na qual existe uma corrente constante de 100 A . (a) Qual é o campo magnético no local da bússola em virtude da linha de transmissão? (b) isso irá interferir seriamente na leitura da bússola? O componente horizontal do campo magnético da Terra no local é de 20 mu T. Resp.:(a) 3,3 mu T; (b) sim.