Campo eletrostático possui potencial
V(x, y)=V0 ln raizx^2+y^2+ const
Determine a forma deste campo em coordenadas cartesianas e depois transforma ele a coordenadas cilíndricas. Qual configuração de cargas gera deste tipo de campo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o potencial eletrostático . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico correspondente em coordenadas cartesianas, depois transformar para coordenadas cilíndricas e descobrir qual configuração de cargas gera esse campo.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial pela relação . Vamos usar cálculo vetorial para encontrar as componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y ) em coordenadas cartesianas. O gradiente em 2D é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando V(x, y) = V0 ln raizx^2+y^2 + const = V02 ln (x^2 + y^2) + const :
partial Vpartial x = V02 cdot 2xx^2 + y^2 = V0 xx^2 + y^2
Então,

Passo 4

Calculando partial Vpartial y = V02 cdot 2yx^2 + y^2 = V0 yx^2 + y^2 :
De forma similar,

Passo 5

Agora, montamos o vetor gradiente:
nabla V = ( V0 xx^2 + y^2, V0 yx^2 + y^2 )
E, como E = ( -V0 xx^2 + y^2, -V0 yx^2 + y^2 ) , temos:

Passo 6

Então, o campo elétrico em coordenadas cartesianas é:
E(x, y) = -V0x^2 + y^2 (x i + y j)
Isso mostra que o campo é radial e inversamente proporcional à distância ao quadrado, similar ao campo de uma carga pontual.

Passo 7

Agora, vamos transformar isso para coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas x = r cos theta y = r sin theta , temos:
E = Er r + Etheta theta + Ez z
E o vetor pode ser expresso como:

Passo 8

Observando nosso campo em cartesianas, vemos que ele está apenas na direção radial (sem componentes angulares ou na direção z). Então, em coordenadas cilíndricas:
E(r) = -V0r^2 r
Isso simplifica bastante a expressão!

Passo 9

Por fim, para descobrir qual configuração de cargas gera esse campo, lembramos da Lei de Gauss. Um campo que varia como sugere uma distribuição de carga pontual ou uma linha infinita de carga.
No entanto, como estamos em 2D (apenas x e y), a configuração que mais se aproxima é uma linha infinita de carga ao longo do eixo z. Essa distribuição gera um campo radial no plano xy que decai proporcionalmente a , mas devido à natureza logarítmica do potencial, isso confirma que estamos tratando de uma linha infinita de carga.

Resposta

O campo elétrico é dado por em coordenadas cartesianas e por em coordenadas cilíndricas. Esse campo é gerado por uma configuração de uma linha infinita de carga ao longo do eixo z.

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