Campo eletrostático possui potencial
Determine a forma deste campo em coordenadas cartesianas e depois transforma ele a coordenadas cilíndricas. Qual configuração de cargas gera deste tipo de campo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o potencial eletrostático
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico correspondente em coordenadas cartesianas, depois transformar para coordenadas cilíndricas e descobrir qual configuração de cargas gera esse campo.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial
pela relação
. Vamos usar cálculo vetorial para encontrar as componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
em coordenadas cartesianas. O gradiente em 2D é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando
:
Então,
Passo 4
Calculando
:
De forma similar,
Passo 5
Agora, montamos o vetor gradiente:
E, como
, temos:
Passo 6
Então, o campo elétrico em coordenadas cartesianas é:
Isso mostra que o campo é radial e inversamente proporcional à distância ao quadrado, similar ao campo de uma carga pontual.
Passo 7
Agora, vamos transformar isso para coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas
, temos:
E o vetor
pode ser expresso como:
Passo 8
Observando nosso campo em cartesianas, vemos que ele está apenas na direção radial (sem componentes angulares ou na direção z). Então, em coordenadas cilíndricas:
Isso simplifica bastante a expressão!
Passo 9
Por fim, para descobrir qual configuração de cargas gera esse campo, lembramos da Lei de Gauss. Um campo que varia como
sugere uma distribuição de carga pontual ou uma linha infinita de carga.
No entanto, como estamos em 2D (apenas x e y), a configuração que mais se aproxima é uma linha infinita de carga ao longo do eixo z. Essa distribuição gera um campo radial no plano xy que decai proporcionalmente a
, mas devido à natureza logarítmica do potencial, isso confirma que estamos tratando de uma linha infinita de carga.
Resposta
O campo elétrico é dado por
em coordenadas cartesianas e por
em coordenadas cilíndricas. Esse campo é gerado por uma configuração de uma linha infinita de carga ao longo do eixo z.