Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região 0 <= x <= L. Gera-se energia na placa à taxa de g0 e^-beta x W / m^3 por convecção para um meio a temperatura Tinfty com um coeficiente de transferência de calor h W / m^2 ^circ C. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo: temos uma placa onde ocorre a condução de calor de forma estacionária e unidimensional, ou seja, o calor se move apenas em uma direção ao longo da placa que vai de até . A condutividade térmica da placa é constante. Além disso, há geração de energia dentro da placa à taxa de W/m³. Essa energia é transferida para um meio externo com temperatura por convecção, e o coeficiente de transferência de calor desse processo é W/m²°C. Para resolver esse problema, vamos precisar usar a equação de condução de calor em regime estacionário e aplicar as condições de contorno que envolvem a convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de condução de calor para um estado estacionário, onde não há variação de temperatura no tempo. A equação geral em uma dimensão é:
d^2 Tdx^2 + qk = 0
Aqui, é a temperatura, é a posição ao longo da placa, é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica.

Passo 3

No nosso caso, a taxa de geração de calor d^2 Tdx^2 + g0 e^-beta xk = 0 é dada por d^2 Tdx^2 = -g0 e^-beta xk . Substituindo na equação, temos:
Ou, rearranjando:

Passo 4

Agora, precisamos considerar as condições de contorno que envolvem a transferência de calor por convecção. Na posição - k dTdx |x=0 = h (T(0) - Tinfty) , o calor é transferido para o meio externo com temperatura k dTdx |x=L = h (T(L) - Tinfty) . A condição de contorno para convecção é dada por:
Analogamente, na posição , temos:

Resposta

A formulação matemática do problema de condução de calor é dada pela equação diferencial acompanhada das condições de contorno:
d^2 Tdx^2 = -g0 e^-beta xk, 0 <= x <= L
Com as condições de contorno:
- k dTdx |x=0 = h (T(0) - Tinfty)
k dTdx |x=L = h (T(L) - Tinfty)

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