Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região . Gera-se energia na placa à taxa de por convecção para um meio a temperatura com um coeficiente de transferência de calor . Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo: temos uma placa onde ocorre a condução de calor de forma estacionária e unidimensional, ou seja, o calor se move apenas em uma direção ao longo da placa que vai de até . A condutividade térmica da placa é constante. Além disso, há geração de energia dentro da placa à taxa de W/m³. Essa energia é transferida para um meio externo com temperatura por convecção, e o coeficiente de transferência de calor desse processo é W/m²°C. Para resolver esse problema, vamos precisar usar a equação de condução de calor em regime estacionário e aplicar as condições de contorno que envolvem a convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de condução de calor para um estado estacionário, onde não há variação de temperatura no tempo. A equação geral em uma dimensão é:
Aqui, é a temperatura, é a posição ao longo da placa, é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica.
Passo 3
No nosso caso, a taxa de geração de calor é dada por . Substituindo na equação, temos:
Ou, rearranjando:
Passo 4
Agora, precisamos considerar as condições de contorno que envolvem a transferência de calor por convecção. Na posição , o calor é transferido para o meio externo com temperatura . A condição de contorno para convecção é dada por:
Analogamente, na posição , temos:
Resposta
A formulação matemática do problema de condução de calor é dada pela equação diferencial acompanhada das condições de contorno: