Considere uma placa de espessura e condutividade térmica constante , na qual é gerado energia a uma taxa constante . A superfície é isolada (adiabática) e a superfície em dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor para um fluido a uma temperatura .
Desenvolva expressões da temperatura e do fluxo de calor na placa.
Calcule as temperaturas nas superfícies e nas seguintes condições:
, e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de condução de calor! A gente tem uma placa com espessura e condutividade térmica . Nessa placa, rola uma geração de energia constante . Na superfície , a placa é isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente (adiabática), e na superfície , o calor é dissipado por convecção com um fluido que está a uma temperatura .
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor com geração interna e aplicar as condições de contorno. Vamos encontrar a expressão da temperatura na placa e o fluxo de calor . Depois, com os valores numéricos dados, vamos calcular as temperaturas nas superfícies e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor com geração interna. Quando há geração de calor dentro do material, a equação se torna:
Aqui, representa a segunda derivada da temperatura em relação a , e é a taxa de geração de calor por unidade de condutividade térmica.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar . Primeiro, integramos uma vez:
Onde é uma constante de integração.
Integramos novamente para encontrar a expressão da temperatura:
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Condição na superfície (adiabática):
Como a superfície é adiabática, não há fluxo de calor passando por ela. O fluxo de calor está relacionado à derivada da temperatura:
Em , :
Condição na superfície (convecção):
Aqui, o calor é dissipado por convecção:
Sabemos que em , então:
Como :
Vamos usar essa equação depois para encontrar .

Passo 5

Com , a expressão da temperatura fica:
Agora, precisamos determinar . Vamos usar a condição na superfície .
Substituindo na equação:
E sabemos que:
Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para a temperatura:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo de calor . Lembrando que:
Vamos derivar :
Então:

Passo 8

Agora, com as expressões gerais encontradas, vamos calcular as temperaturas nas superfícies e usando os valores fornecidos:
Primeiro, vamos calcular :

Passo 9

Agora, vamos calcular e .
Para :
Para :

Resposta

A temperatura na superfície é e na superfície é também .

Exercícios relacionados

Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região . Gera-se energia na placa à taxa de por convecção para um meio a temperatura com um coeficiente de transferência de calor . Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.
Um tanque rígido e estanque com volume de 50 L contém 500 g de água a . O tanque é então colocado em um ambiente com temperatura de por tempo suficiente para alcançar equilíbrio térmico com o ambiente. Calcular o calor transferido durante o processo. (R.: )
Um conjunto pistão-cilindro contém de água a 100 kPa e apresenta volume específico de . O conjunto é aquecido segundo um processo isobárico até alcançar . Determine o trabalho realizado e o calor transferido durante a mudança de estado. (R.:
Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, em um cilindro oco com condutividade térmica constante na região . Gera-se calor no cilindro a uma taxa de go , enquanto se dissipa calor por convecção para correntes fluidas no interior e no exterior do tubo cilíndrico. Os coeficientes de transferência de calor para os fluidos, no interior e no exterior, são e , respectivamente, e as temperaturas dos fluidos no interior e no exterior são , respectivamente. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.