Considere uma placa de espessura
e condutividade térmica constante
, na qual é gerado energia a uma taxa constante
. A superfície
é isolada (adiabática) e a superfície em
dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor
para um fluido a uma temperatura
.
Desenvolva expressões da temperatura
e do fluxo de calor
na placa.
Calcule as temperaturas nas superfícies
e
nas seguintes condições:
, e
.
Desenvolva expressões da temperatura
Calcule as temperaturas nas superfícies
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de condução de calor! A gente tem uma placa com espessura
e condutividade térmica
. Nessa placa, rola uma geração de energia constante
. Na superfície
, a placa é isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente (adiabática), e na superfície
, o calor é dissipado por convecção com um fluido que está a uma temperatura
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor com geração interna e aplicar as condições de contorno. Vamos encontrar a expressão da temperatura
na placa e o fluxo de calor
. Depois, com os valores numéricos dados, vamos calcular as temperaturas nas superfícies
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor com geração interna. Quando há geração de calor dentro do material, a equação se torna:
Aqui,
representa a segunda derivada da temperatura em relação a
, e
é a taxa de geração de calor por unidade de condutividade térmica.
Passo 3
Vamos integrar essa equação para encontrar
. Primeiro, integramos uma vez:
Onde
é uma constante de integração.
Integramos novamente para encontrar a expressão da temperatura:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes
e
.
Condição na superfície
(adiabática):
Como a superfície é adiabática, não há fluxo de calor passando por ela. O fluxo de calor
está relacionado à derivada da temperatura:
Em
,
:
Condição na superfície
(convecção):
Aqui, o calor é dissipado por convecção:
Sabemos que
em
, então:
Como
:
Vamos usar essa equação depois para encontrar
.
Passo 5
Com
, a expressão da temperatura fica:
Agora, precisamos determinar
. Vamos usar a condição na superfície
.
Substituindo
na equação:
E sabemos que:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a expressão completa para a temperatura:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o fluxo de calor
. Lembrando que:
Vamos derivar
:
Então:
Passo 8
Agora, com as expressões gerais encontradas, vamos calcular as temperaturas nas superfícies
e
usando os valores fornecidos:
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
A temperatura na superfície
é
e na superfície
é também
.
Exercícios relacionados
Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região
. Gera-se energia na placa à taxa de
por convecção para um meio a temperatura
com um coeficiente de transferência de calor
. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.
Um tanque rígido e estanque com volume de 50 L contém 500 g de água a
. O tanque é então colocado em um ambiente com temperatura de
por tempo suficiente para alcançar equilíbrio térmico com o ambiente. Calcular o calor transferido durante o processo. (R.:
)
Um conjunto pistão-cilindro contém
de água a 100 kPa e apresenta volume específico de
. O conjunto é aquecido segundo um processo isobárico até alcançar
. Determine o trabalho realizado e o calor transferido durante a mudança de estado. (R.:
Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, em um cilindro oco com condutividade térmica constante na região
. Gera-se calor no cilindro a uma taxa de go
, enquanto se dissipa calor por convecção para correntes fluidas no interior e no exterior do tubo cilíndrico. Os coeficientes de transferência de calor para os fluidos, no interior e no exterior, são
e
, respectivamente, e as temperaturas dos fluidos no interior e no exterior são
, respectivamente. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.