Considere uma placa de espessura L e condutividade térmica constante k, na qual é gerado energia a uma taxa constante g0 W / m^3. A superfície em x=0 é isolada (adiabática) e a superfície em x=L dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h para um fluido a uma temperatura Tinfty.
Desenvolva expressões da temperatura T(x) e do fluxo de calor q(x) na placa.
Calcule as temperaturas nas superfícies x=0 e x=L nas seguintes condições:
L=1 cm ; k=20 W /(m ^circ C) ; g0=8 times 10^7 W / m^3 ; h=4000 W /(m^2 ^circ C), e Tinfty=100^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de condução de calor! A gente tem uma placa com espessura e condutividade térmica . Nessa placa, rola uma geração de energia constante . Na superfície , a placa é isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente (adiabática), e na superfície , o calor é dissipado por convecção com um fluido que está a uma temperatura .
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor com geração interna e aplicar as condições de contorno. Vamos encontrar a expressão da temperatura na placa e o fluxo de calor . Depois, com os valores numéricos dados, vamos calcular as temperaturas nas superfícies e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor com geração interna. Quando há geração de calor dentro do material, a equação se torna:
d^2 Tdx^2 + g0k = 0
Aqui, representa a segunda derivada da temperatura em relação a , e é a taxa de geração de calor por unidade de condutividade térmica.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar dTdx = -g0kx + C1 . Primeiro, integramos uma vez:
T(x) = -g02kx^2 + C1 x + C2
Onde é uma constante de integração.
Integramos novamente para encontrar a expressão da temperatura:
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes q = -k dTdx e 0 = -k ( -g0k cdot 0 + C1 ) Rightarrow C1 = 0 .
Condição na superfície q = h(T(L) - Tinfty) (adiabática):
Como a superfície é adiabática, não há fluxo de calor passando por ela. O fluxo de calor -k ( -g0k L + C1 ) = h(T(L) - Tinfty) está relacionado à derivada da temperatura:
g0 L = h(T(L) - Tinfty)
Em , :
Condição na superfície (convecção):
Aqui, o calor é dissipado por convecção:
Sabemos que em , então:
Como :
Vamos usar essa equação depois para encontrar .

Passo 5

Com T(x) = -g02kx^2 + C2 , a expressão da temperatura fica:
T(L) = -g02kL^2 + C2
Agora, precisamos determinar g0 L = h(T(L) - Tinfty) . Vamos usar a condição na superfície g0 L = h( -g02kL^2 + C2 - Tinfty ) .
Substituindo C2 = g0 Lh + g02kL^2 + Tinfty na equação:
E sabemos que:
Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos T(x) = -g02kx^2 + ( g0 Lh + g02kL^2 + Tinfty ) , podemos escrever a expressão completa para a temperatura:
T(x) = g0 Lh + g02k(L^2 - x^2) + Tinfty
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo de calor q(x) = -k dTdx . Lembrando que:
dTdx = -g0kx
Vamos derivar q(x) = -k ( -g0kx ) = g0 x :
Então:

Passo 8

Agora, com as expressões gerais encontradas, vamos calcular as temperaturas nas superfícies L = 1 cm = 0,01 m, k = 20 Wm cdot ^circC, g0 = 8 times 10^7 Wm^3, h = 4000 Wm^2 cdot ^circC, Tinfty = 100^circC e C2 = 8 times 10^7 times 0,014000 + 8 times 10^72 times 20 times (0,01)^2 + 100 usando os valores fornecidos:
C2 = 8 times 10^54000 + 8 times 10^740 times 10^-4 + 100
Primeiro, vamos calcular C2 = 200 + 2000 + 100 = 2300^circC :

Passo 9

Agora, vamos calcular T(0) = 8 times 10^7 times 0,014000 + 8 times 10^72 times 20(0,01)^2 + 100 = 200 + 2000 + 100 = 2300^circC e T(L) = 8 times 10^7 times 0,014000 + 8 times 10^72 times 20(0,01)^2 + 100 = 200 + 2000 + 100 = 2300^circC .
Para :
Para :

Resposta

A temperatura na superfície é e na superfície é também .

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