Considere um cone oco com uma abertura no vértice do topo, juntamente com um cilindro oco, aberto no topo, com a mesma área de base do cone. Encha ambos com água até o topo. O paradoxo da hidrostática diz que ambos os recipientes têm a mesma força no fundo por causa da pressão da água, embora o cone contenha
menos água do que o cilindro. Explique esse parodoxo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois recipientes: um cone oco e um cilindro oco, ambos com a mesma área de base. Ambos são preenchidos com água até o topo. A questão menciona o “paradoxo da hidrostática”, que diz que, apesar de o cone conter 67% menos água que o cilindro, a força no fundo de ambos os recipientes é a mesma devido à pressão da água. Vamos precisar usar conceitos de pressão hidrostática e força para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a pressão exercida pela água em uma profundidade
. A pressão hidrostática é dada por:
Onde:
-
é a densidade da água, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura da coluna de água.
Isso nos mostra que a pressão no fundo depende apenas da altura da água, não do formato do recipiente.
Passo 3
Agora, para encontrar a força exercida no fundo do recipiente, usamos a relação entre pressão e força:
Aqui,
é a área da base do recipiente. Como ambos os recipientes têm a mesma área de base e a pressão no fundo depende apenas da altura da água, a força
será a mesma para ambos, mesmo que os volumes de água sejam diferentes.
Passo 4
No cilindro, a altura da água é maior porque ele tem uma maior capacidade de volume devido ao seu formato. No entanto, no cone, a altura necessária para atingir o mesmo nível de água resulta em um volume menor (por causa da forma cônica que afina). Mesmo assim, a pressão no fundo depende apenas da altura da água, e como a área da base é a mesma, a força no fundo acaba sendo igual.
Passo 5
O “paradoxo” ocorre porque intuitivamente pensamos que mais água deveria significar mais força, mas na verdade, a força hidrostática no fundo depende exclusivamente da altura da coluna de água e da área da base. O formato do recipiente afeta o volume de água que ele pode conter, mas não a força exercida no fundo, desde que a altura da água e a área da base sejam as mesmas.
Resposta
Portanto, o paradoxo da hidrostática ocorre porque, apesar do cone conter menos água que o cilindro, a força no fundo é a mesma para ambos. Isso acontece porque a força hidrostática depende apenas da pressão, que é determinada pela altura da água e pela área da base, não pelo volume total de água no recipiente.